從等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)談定義的功能

劉占科

【摘要】等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，按照傳統(tǒng)的、教材通用的錯(cuò)位相減法來(lái)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生總有一些疑慮，這個(gè)方法是怎么想到的呢？教師在教學(xué)過(guò)程中如果按照教材的推導(dǎo)方法講授，雖然得出了結(jié)論，但總有一種牽強(qiáng)和意猶未盡的感覺(jué).如何才能對(duì)等比數(shù)列求和公式給出一個(gè)合理的、學(xué)生和教師都能夠接受的思維解釋呢？下面針對(duì)自己對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的教學(xué)，談一下個(gè)人的想法.

【關(guān)鍵詞】等比數(shù)列；定義

等比數(shù)列的定義是等比數(shù)列的核心，筆者認(rèn)為等比數(shù)列的求和公式一定是從定義入手的，這一點(diǎn)毋庸置疑.只有正確理解等比數(shù)列定義的實(shí)質(zhì)、把握定義的內(nèi)涵和外延、才能達(dá)到靈活運(yùn)用定義，才能對(duì)等比數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行正確地分析、推理和論證.

在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)中，其求和思想是從等差數(shù)列的定義入手，充分運(yùn)用公差在等差數(shù)列中的遞推作用.

即d=a2-a1=a3-a2=…=an-1-an-2=an-an-1.

因此，有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an-1+a2=an+a1，

而Sn=a1+a2+…+an-1+an，

倒序后Sn=an+an-1+…+a2+a1，

相加得2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1）=n（a1+an），

所以Sn=n（a1+an）2，

將an用a1+（n-1）d代換得到另一個(gè)求和公式Sn=na1+n（n-1）d2.

等差數(shù)列的這種求和方法稱作倒序相加法.可以看出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是用等差數(shù)列的五個(gè)基本量，首項(xiàng)a1、公差d、項(xiàng)數(shù)n、末項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn中的三個(gè)基本量來(lái)表達(dá)的.

類比等差數(shù)列，等比數(shù)列中也有五個(gè)基本量，首項(xiàng)a1、公比q、項(xiàng)數(shù)n、末項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn，我們能否像等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn那樣用三個(gè)基本量來(lái)表達(dá)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn呢？

與推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一樣，我們也從等比數(shù)列的定義入手.

思路一從等比數(shù)列的定義入手，充分運(yùn)用公比在等比數(shù)列相鄰兩項(xiàng)間的傳遞作用，即

a1q=a2，a2q=a3，…，an-1q=an，

Sn=a1+a2+…+an-1+an.

觀察這個(gè)等式，結(jié)合剛才的分析，對(duì)這個(gè)等式兩邊同乘公比q的話，恰好可以得到下列的表達(dá)式：

qSn=a2+…+an-1+an+anq.

（因?yàn)槲覀兿胗没玖勘硎厩皀項(xiàng)和，因此，我們沒(méi)有把a(bǔ)nq用an+1來(lái)表示）

仔細(xì)觀察這兩個(gè)等式，有共同的和式a2+…+an-1+an，因此，做差可以消去這個(gè)和式得到：

（1-q）Sn=a1-anq.

當(dāng)q=1時(shí)，an=a1，Sn=na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1-anq1-q.（1）

我們利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式把a(bǔ)n用a1qn-1來(lái)表示，得到等比數(shù)列前n項(xiàng)和的第二種形式的公式

Sn=a1（1-qn）1-q（q≠1）.（2）

我們把等比數(shù)列的這種求和方法稱作錯(cuò)位相減法.

公式（1）用首項(xiàng)、公比和末項(xiàng)表達(dá)公比不為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，公式（2）用首項(xiàng)、公比和項(xiàng)數(shù)來(lái)表達(dá)公比不為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

思路二深挖等比數(shù)列定義的功能，深刻領(lǐng)會(huì)公比是等比數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)的比這一傳遞性（后項(xiàng)與相鄰前項(xiàng)的比值）.

根據(jù)等比數(shù)列的定義把公比用下列分式來(lái)表達(dá)

q=a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1.

那么如何從上式中出現(xiàn)前n項(xiàng)和Sn，即a1+a2+…+an-1+an的形式呢？

很自然地想到等比定理：q=a2+a3+…+ana1+a2+…+an-1.

結(jié)合an與Sn的關(guān)系得到q=Sn-a1Sn-an.

整理得（1-q）Sn=a1-anq，以下同思路一的討論.

以上兩種方法推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，從定義入手給“錯(cuò)位相減法”一個(gè)很完美的思維解釋，可以說(shuō)掃清了學(xué)生的思維障礙.我們體會(huì)到推導(dǎo)過(guò)程中考慮問(wèn)題要嚴(yán)謹(jǐn)、全面，要適時(shí)對(duì)公比進(jìn)行分類討論；從推導(dǎo)過(guò)程來(lái)看，要重視公比在推導(dǎo)過(guò)程中無(wú)可替代的地位，深刻理解等比數(shù)列五個(gè)基本量的作用，體會(huì)方程的思想；從思路二的推導(dǎo)過(guò)程中借助等比定理，巧妙地向前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的思想.定義是我們推導(dǎo)前n項(xiàng)和的源泉，定義具有雙重的功能，既為我們判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列提供了依據(jù)，又可以作為等比數(shù)列的最重要的性質(zhì)，賦予了等比數(shù)列更豐富的內(nèi)涵.

通過(guò)對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)，對(duì)傳統(tǒng)的推導(dǎo)方法進(jìn)行了創(chuàng)新，從不同的視角給出了求和公式的兩種推導(dǎo)方法.通過(guò)求和公式的推導(dǎo)，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想（分類討論、方程思想、轉(zhuǎn)化思想）有了更深刻的理解，突出了等比數(shù)列定義的重要作用和公比在推導(dǎo)過(guò)程中的特殊地位，使學(xué)生更加重視對(duì)定義的理解和運(yùn)用.

總之，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念和定義的教學(xué)是非常重要的.只有充分重視數(shù)學(xué)概念和定義，用科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈淖帧⒎?hào)或圖形表達(dá)定義的本質(zhì)，通過(guò)對(duì)概念、定義的聯(lián)系、比較，尋找它們的共性和個(gè)性，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、理解能力和創(chuàng)造性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).