關于點電荷所形成的電場和電勢問題

摘要：對于在學習過程中常遇到的點電荷所形成的電場和電勢的問題，文章從單個點電荷所形成的場強或電勢入手，運用矢量或標量相加法則，總結了電場線、等勢面圖像的規律，并將這些規律推廣到了多個點電荷情形。對于較復雜的由多個點電荷形成的電場問題，可以先判斷單個電荷所形成的電場和電勢，再根據公式計算總場強或總電勢。對于兩電荷量不同的點電荷連線中垂線上的某點而言，總場強方向將朝向電荷量較多的電荷形成的場強方向偏轉。

關鍵詞：點電荷；電場；電勢；矢量；標量

作者簡介：王斯加（1998-），女，杭州學軍中學高三學生。

在學習點電荷所形成的電場和電勢時，老師常常會介紹一些規律，比如兩個同種點電荷所形成的電場中，從兩電荷連線的中點沿該連線中垂線向外場強先增大后減小；若是異種點電荷則向外逐漸減小[1]等。的確，這些規律給解題帶來了很大的幫助，但要想把它們記清楚，不混淆，卻十分困難，一不留神就會“張冠李戴”。因此，若能將其背后的原理真正理解清楚，再記起來便會方便許多。

為了真正弄明白點電荷所形成的電場和電勢的特點和規律，可以從簡單的定義入手，對上述規律加以解釋。需要用到這樣兩個基本公式：

（1）

（2）

先考慮最簡單的單個點電荷所形成的電場。

一.單電荷情況

由式（1）可知，從正電荷出發向外，電場強度逐漸減小。這也就印證了“電場線越密集的地方電場強度越大”。

由式（2）可知，到點電荷距離相等的點電勢相等。所以在單個點電荷所形成的電場中，等勢面是以該點電荷為圓心的同心圓。

負電荷則類似，只是方向相反。

二.兩個電荷情況

1.兩個電荷所帶電荷量相等

為方便說明，設兩點電荷帶電量均為Q。

Ⅰ.兩個正電荷

（1）電場強度：

對于該電場內某點形成的場強問題，可以用“矢量疊加”的原理解決，即把某點的總電場視為左邊電荷所形成的電場和右邊電荷所形成的電場的矢量和，如圖3：

由圖可見：

從兩電荷連線的中點沿該連線中垂線向外，場強先增大后減小；中點處和無限遠處場強為零。

（2）電勢：

與在探究場強時方法類似，將某點的電勢視為兩個點電荷所形成的電勢之和。而電勢為標量，因此只需進行簡單的代數相加即可。

若探究點在兩點電荷連線中垂線上，則有：

得到以下結論：

在兩點電荷連線的中垂線上，中點電勢最高，沿該中垂線向外電勢逐漸減小至0.

若探究點在兩點電荷連線上，設探究點到左邊電荷的距離為x，則到右邊電荷的距離為2r-x，則有：

則由相應數學知識可知：當x=r時， 取最大值2kQ/r.

即在兩點電荷連線上，中點電勢最低。

同樣道理，對于兩個相等負電荷我們可以得出相同結論。

（2）電勢：

對于兩點電荷連線中垂線上的某點，左右兩點電荷產生的電勢相互抵消，因此該中垂線上各處電勢均為0，為一條等勢線。

2.兩個正電荷所帶電荷量不相等

Ⅰ.兩個正電荷

Ⅱ.兩個負電荷或一正一負電荷

若兩點電荷為兩個負電荷或一正一負，我們也可以得到類似的結論。

利用該結論，我們可以解決很多有關問題：

對于如圖-10所示的電場并非關于中垂線對稱，似乎很難判斷a、b兩點荷所帶電量的大小。而由以上探究可知，由于電場線由正電荷出發終止于負電荷或無窮遠處，知此兩電荷必為異種電荷；又因為在兩點電荷連線中垂線上，場強方向向右邊電荷的場強方向偏轉，可知a的電荷量小于b的電荷量。

下面把以上所有的探究結論運用到實際解題中去：

【例】（15江蘇）兩個相同的負電荷和一個正電荷附近的電場線分布如圖所示，c是兩負電荷連線的中點，d點在正電荷的正上方，c、d到正電荷的距離相等，則：（ ）[2]

A.a點的電場強度比b點的大

B.a點的電勢比b點的高

C.c點的電場強度比d點的大

D.c點的電勢比d點的低

【答案】ACD

【解析】

A項：本項的判斷是關于點電荷所形成的電場強度的判斷。直接觀察圖像可知，a點電場線要比b點密集，因此A項正確。

B項：本項的判斷是關于點電荷所形成的電場電勢高低的判斷。由于電勢沿電場線方向逐漸降低，因此B項錯誤。

C項：c點處總電場強度可以視為三個點電荷分別產生的場強的矢量和。對于c點而言，兩個負電荷在c點處產生的電場強度大小相等方向相反，因此總場強等效為正電荷產生的場強，所以Ec=kQ正/r32，方向豎直向下。

而對于d點而言，兩個負電荷在水平方向上產生的電場強度大小相等方向相反，而在豎直方向上產生的總電場強度方向豎直向下，大小為E負=2（KQ負/r22）*（2r3/r2）；正電荷在豎直方向上產生的電場強度方向豎直向上，大小為E正=kQ正/r32，所以d點總電場強度為Ed=E正 -E負= kQ正/r32-2（KQ負/r22）*（2r3/r2）

D項：電勢為標量，因此直接計算數值即可，不用考慮方向。

對于c點而言：φc=kQ正/r3-2 kQ負/r1

對于d點而言：φd=kQ正/r3-2 kQ負/r2

又因為r2>r1，所以φd>φc，即D項正確。

總而言之，對于較復雜的由多個點電荷形成的電場，可以先利用相關公式計算單個點電荷所形成的場強或電勢。對于電場，運用矢量相加法則；對于電勢，運用標量相加法則，算出多個點荷的總場強或總電勢。特別地，對于兩電荷量不同的點電荷連線中垂線上的某點而言，總場強方向將朝向電荷量較多的電荷形成的場強方向偏轉。

參考文獻：

[1]曲一線.五年高考三年模擬：B版.高考物理[M].北京：教育科學出版社.2012.97

[2]壹柒教育.8.兩個相同的負電荷和一個正電荷附近的電場線分布…. [OL].[2016-11-13].http：//www.17jiaoyu.com/stzx/gzwl/gkmn2015/201506/20150611144407_136249.html

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