巧用多普勒效應妙解物理復賽題

【摘要】 多普勒效應是一種計算一維運動中的頻移問題的好方法，在32屆復賽題中如果利用小量近似，然后利用多普勒效應，可以很簡單的將問題解決。

【關鍵字】 多普勒效應 一維 小量近似

多普勒效應是在一維運動中計算頻移的強有力方法，推導過程并不復雜。下面進行簡單的推導，設聲音的速度為 ，頻率為 ，周期為T，聲源朝觀察者的速度為 ，傳播距離改變 時，則 ，則觀察者接收到相連兩波峰的時間差為 ，所以觀察者接收的頻率為 。同理，當聲源不動，觀察者向聲源以速度 靠近時，一個周期靠近的距離 ， 則 ，則觀察者接收到相連兩波峰的時間差為 ，所以觀察者接到的頻率 。

下面我們以第32屆賽題的第四題為例來進行說明：如圖，飛機在距水平地面（xz平面）等高的航線KA（沿x正方向）上，以大小為 （ 遠小于真空中的光速 ）的速度勻速飛行；機載雷達天線持續向航線正右側地面上的被測固定目標P點（其x坐標為 ）發射扇形無線電波束（扇形的角平分線與航線垂直），波束平面與水平地面交于線段BC（BC隨著飛機移動，且在測量時應覆蓋被測目標P點），取K點在地面的正投影O為坐標原點。已知BC與航線KA的距離為 。天線發出的無線電波束是周期性的等幅高頻脈沖余弦波，其頻率為 。若已知機載雷達天線經過A點（其x坐標為 ）及此后朝P點相繼發出無線電波信號，由P反射后又被機載雷達天線接收到，求接收到的回波信號的頻率與發出信號的頻率之差（頻移）。

下面我將參考答案提供的參考系解法與我所用的多普勒解法，看能否達到事半功倍的效果，首先我們來看參考系解法。

析解：按照題給坐標系，設待測點P的位置為（xp，0，a），飛機在t=0時所在點K的位置為（0，h，0）。在時刻t1，飛機所在位置A點的坐標為（x1=xA，h，0），機載雷達此時發出一光信號；該信號到達P點，經反射后，于時刻t2，返回至飛機的機載雷達被接受，此時飛機的機載雷達的位置為（x2=xa，h，0），如圖所示。由于光速不變，飛機做勻速直線運動，有

①

②

式中 。現設在時刻 ，飛機所在位置A點的坐標為 ，機載雷達此時發出另一光信號；該信號到達P點，經反射后，于時刻 返回至飛機的機載雷達被接受，此時飛機的機載雷達的位置為 。同理有

但是筆者認為這個問題根本沒有必要利用這么復雜的推理，可以用降維思想，利用一維多普勒效應簡單的進行求解，分析如下

將該立體圖中的有效成份轉化為平面，如圖所示：

由于v<

∴

其中

解得： =

=

由于v<

值得思考的是，若用相對論中的多普勒公式如何？

結果竟然與經典理論中的不約而同，可謂妙不可言。這說明用電磁波的頻率改變在v<

參考文獻：32屆全國中學生物理競賽（復賽）試卷及答案

作者簡介：林德鋁 1998年出生 男 高中在讀 研究方向：物理競賽方向

浙江省蒼南中學學生，物理競賽小組成員，獲第32屆全國中學生物理競賽二等獎