多量子比特核磁共振體系的實驗操控技術?

潘健1) 余琦1) 彭新華1)2)

1)(中國科學技術大學,中國科學院微觀磁共振重點實驗室和近代物理系,合肥 230026)

2)(中國科學技術大學,量子信息與量子科技前沿協同創新中心,合肥 230026)

1 引 言

20世紀90年代以來,量子信息與量子計算科學發展迅速[1,2].人們意識到量子計算機在處理某些特定問題時優越于經典的計算機.從早期的Deutsch-Jozsa算法[3]、Shor質數分解算法[4]、Grover搜索算法[5]等開始,一系列不同的量子算法如量子線性方程組算法[6]、高斯和算法[7]等被陸續提出.與此同時,量子信息處理器還被廣泛地用于量子模擬[8]、量子信息糾錯[9]、量子度量[10]等方面的研究.針對不同的量子體系,開發出了一系列實驗技術以滿足不同的實驗需求.隨著研究的不斷深入,從實驗上實現理論方案所需要的量子比特位數也在不斷增加.為了能夠最終真正地將量子計算的巨大潛能得以實現,必須不斷地提高實驗體系可操控的量子比特位數,掌握多比特量子操控技術.然而,到目前為止還只有少數的物理體系(如離子阱[11]、超導回路[12]、核磁共振(nuclear magnetic resonance,NMR)[13,14]等)能實現復雜的多比特(≥7個量子比特位)的實驗方案.

NMR平臺是一個很好的量子方案測試平臺,該平臺60多年的控制技術的發展提供了豐富而又精準的量子操控手段.很多量子算法都是在NMR平臺上得到了最早的實驗驗證[15,16].近幾年來,一些多量子比特實驗方案也在NMR平臺上得以實現.在2000年和2001年,Knill等[13]和Vandersypen等[14]分別利用巴豆酸(crotonic acid)和全氟丁二烯基鐵絡合物(perf l uorobutadienyl iron complex)這兩種不同的7比特樣品實現了7比特贗純態的制備和Shor算法的演示,以此揭開了多比特NMR實驗的序幕.后續的很多7比特實驗方案都利用了巴豆酸樣品[17,18].2006年,Negrevergne等[19]實現了12比特的贗純態制備.在拓展系統量子比特位數方面,選擇和制備合適的樣品一直是一個非常大的挑戰.最近我們提出了最優控制的量子經典雜化的反饋控制方案[20],并在實驗中實現了7量子相干的量子控制.這個方法克服了完全經典最優控制中對計算資源要求最苛刻的部分,對多量子比特系統提供了一個有效的控制手段.隨后,這個方法被應用到了一個新的12比特樣品上[21].

本文介紹NMR平臺下的多量子比特體系的實驗操控技術.首先闡述操控多量子比特NMR體系實驗中的基本困難及其原因,然后介紹我們在7量子比特贗純態制備以及其他多量子比特實驗中用到的一系列實驗技術,最后給出展望.

2 多量子比特NMR實驗中的技術困難

目前2到4位的少量子比特NMR實驗已經形成為較完善成熟的實驗技術,然而在多比特NMR實驗中還有很多的技術困難需要解決.為了克服這些實驗困難,已發展出了很多實驗技術方法.

首先是譜線信噪比以及分辨率的問題.隨著自旋數目的增加,譜線強度大致以指數形式減弱,從而導致譜線信噪比迅速降低.同時由于不少核與核之間的J耦合系數很小,導致相關峰劈裂出來的頻率間隔很小,會堆疊在一起無法精確區分彼此的位置.在實驗中多個峰彼此疊加在一起形成非常復雜形狀的譜線,導致無法直接獲取精確的實驗信息.這一關鍵性問題涉及到NMR體系的可擴展性[22].

其次是對多量子比特實現有效的脈沖操控以及進行有效的數值模擬問題.對于n量子比特的樣品,描述整個量子體系運動的薛定諤方程需要構建2n維度的密度矩陣,從而模擬體系狀態的運算量將以指數速度攀升,這極大地限制了優化算法(如GRAPE算法[23])的搜索效率.

第三是如何進行有效的初態制備問題.已經提出了多種方法來進行贗純態制備[24?26],然而主要問題是要么實驗的次數隨比特數指數增加,要么得到的贗純態信號強度隨比特數指數減小.例如Vandersypen等[14]在他們7比特實驗中利用時間平均法疊加了36次實驗才制備出了贗純態.Knill等[13]發明了貓態制備法有著簡潔而有效擴展的形式,理論上對n比特樣品最少只需要n次實驗的疊加,然而信號強度隨比特數指數減小.不管怎樣,貓態制備法依然能在10量子比特左右的NMR體系上有很好的應用[19].

第四是線路優化問題.對于多量子比特實驗,往往需要復雜的操作來實現所需的實驗線路.除了實驗線路中所必須的基本操作外,往往還要添加很多去耦脈沖來消除不需要的系統哈密頓量演化.隨著操作脈沖的增加,整個線路的累積誤差也會越來越大,如果不進行有效的線路優化,實驗結果往往與理論預期偏差很大.

最后是對實驗結果快速有效讀出的問題.對多量子比特NMR體系的量子態進行完全重構所需的讀出脈沖個數隨量子比特位數也是以指數速度增加的.為了簡化實驗的復雜度,有時只進行部分子空間態層析.也有一些新型的態層析方法被提出,用來提高結果讀出的效率[27,28].

3 NMR量子寄存器

下面我們以巴豆酸(crotonic)樣品為例,結合7比特贗純態制備以及相關實驗來對其中的一些多比特實驗技術進行介紹.巴豆酸分子的結構及在303.0 K溫度下Bruker AV-400 MHz的NMR譜儀上測得的樣品參數如圖1(a)所示,樣品溶劑為重水.7個量子比特由C1,C2,C3,C4,M,H1和H2自旋組成,按照這個順序分別標記為第1—7量子比特,其中M是三個完全等價的氫核組成的甲基氫(后面我們將介紹怎樣將甲基中的三個氫自旋作為一個量子比特使用).

圖1 (網刊彩色)7比特量子寄存器 (a)巴豆酸分子的化學參數,對角元表示化學位移,非對角元表示J耦合常數,單位為Hz;(b)13C(藍色)和1H(紅色)的熱平衡譜Fig.1.(coloronline)7-qubitquantum register:(a)Chemical parameters of crotonic acid molecule;the diagonal elements denote the chemical shifts and the non-diagonal elements denote the J-coupling constants;the unit is Hz;(b)13C(blue)and1H(red)thermal equilibrium spectra.

其中,νi代表第i個核的化學位移,Jjk代表j核和k核自旋之間的標量J耦合大小,σiz代表第i個核自旋泡利算符.實驗中測得的參數見圖1(a),自旋13C和1H的熱平衡譜見圖1(b).

4 多比特NMR實驗中的操控技術

4.1 射頻選擇方法

靜磁場和射頻場的不均勻性會造成脈沖的不完美性,通過對水峰信號進行章動實驗能夠測試射頻場的不均勻性,如圖2(b)中藍線所示,隨著施加的脈沖時間的增加信號強度會振蕩減小.通過射頻選擇方法[29]可以減小這種不完美性的影響.此方法利用核章動速率和脈沖功率之間的關系來選擇性地挑選出一小部分空間的樣品.在此小空間內,樣品感受到的射頻脈沖功率近乎相等,同時由于選擇性地挑選出了部分空間的樣品,有效樣品的空間區域大大減小,從而此部分感受的靜磁場不均勻性比整個樣品空間的磁場不均勻性小很多,從而提高了譜線分辨率.

射頻選擇方法是受DANTE序列的啟發[30].我們采用文獻[29]中的射頻選擇序列：

其中Rx,±y(θ)分別代表沿著x,±y軸旋轉θ角度.上面序列中旋轉角度針對的是線圈中心位置附近的樣品,角度α滿足mα=π/2,整個序列中的脈沖都是硬脈沖激發.對于線圈中心附近的樣品,上述序列凈作用相當于繞x軸旋轉π/2.如果開始態沿z方向,在m次循環后對應于線圈中心附近樣品的態將被激發到y方向,最后的Ry(2mπ)脈沖將作為自旋鎖定的脈沖,不改變y方向的態.而對于不在線圈中心附近的樣品,由于射頻不均勻性導致激發幅度的減小,翻轉的角度不再是2π(而是β＜2π)或者α,因此在m次循環后態將被激發到x-z平面,最后的Ry(2mπ)脈沖等效于一個回聚的形式(旋轉回波)將最終態轉向z方向.因此序列(2)能夠選擇性地挑選出線圈中心附近一小部分空間的樣品,從而在抑制射頻脈沖的空間不均勻性的同時也能進一步提高譜線的分辨率.實驗中我們測試了這個序列的效果,如圖2(a)所示.當取m=80時,能將水峰的半高寬從1.95 Hz降到1.02 Hz,伴隨的代價是信號強度衰減到原有的8.0%.施加序列(2)后,對水峰信號進一步進行章動實驗的結果(圖2(b)中的紅線)可以看出,隨著施加的脈沖時間增加,信號強度改變很小,射頻場的不均勻性得到了有效的抑制.

圖2 (網刊彩色)射頻選擇方法的實驗測試結果 (a)施加序列(2)前后水的熱平衡譜,圖中不同譜線對應序列(2)中的m分別取0,10,20,40,80的效果;(b)章動實驗測試結果,圖中藍線和紅線分別代表施加射頻選擇序列前后水的射頻章動實驗結果,紅線信號放大了5倍,其中紅線施加的射頻選擇序列中m=80Fig.2.(color online)Experimental results for radio-frequency(RF)selection method.(a)Thermal equilibrium spectra of water with/without the sequence(2).Different spectra correspond to m=0,10,20,40,80 in the sequence(2),respectively.(b)RF nutation experiments;the blue and red curves represent the nutation signals of water without and with the sequence(2);the signal of the red curve is amplif i ed by 5 times with m=80.

4.2 甲基氫自旋1/2子空間選取

甲基具有三個完全等價的氫自旋,無法對這三個氫自旋分別進行操作,因此不能作為三個量子比特使用.但是通過選取甲基上氫自旋態的子空間,能將它們作為一個有效自旋1/2的粒子(即一個量子比特)利用.這是利用了甲基上三個等價氫自旋的對稱性,它們的態空間能由一個自旋3/2的子空間和兩個自旋1/2的子空間組成.最初的熱平衡態包含這兩種自旋類型的極化,利用圖3的操作序列能消除自旋3/2子空間的極化,而只保留自旋1/2子空間的極化,相當于在自旋1/2子空間做投影操作.因此,經過這一步之后,我們就能將整個巴豆酸分子體系作為一個7量子比特的樣品進行操作.

圖3 (網刊彩色)甲基上三個等價氫自旋態的自旋1/2子空間選取的操作序列,圖中Y和的方框分別代表繞y軸和?y軸π/2的旋轉,X和的方框分別代表繞x軸和?x軸π/2的旋轉;A,B分別代表繞x-y平面內與x軸夾角為68.2°和116.6°的軸π/2的旋轉;兩個比特間的連接線代表演化時間為1/4J的J耦合演化,這里J是甲基上碳和氫自旋之間的耦合常數,gp表示z方向的梯度脈沖Fig.3.(color online)Sequence of the selection of spin-1/2 components of the methyl protons.Here Y and represent π/2 rotation along the y and ?y axis,respectively.X and represent π/2 rotation along the x and ?x axis,respectively.A,B represent π/2 rotations along the axis in the x-y plane with the phases of 68.2° and 116.6°,respectively.The connecting line between the two qubits represents the J coupling evolution with the duration of 1/4J.Here J is the J-coupling constant between spins13C and1H in the methyl group.gp denotes pulsed fi eld gradient along z direction.

4.3 形狀脈沖與組合脈沖

按照量子控制的理論,單比特旋轉操作和兩比特CNOT門能構成普適的量子邏輯門組,可以實現任意的幺正操作[1].在NMR體系中CNOT門可以拆分成[31]

這里在量子比特i上的單量子比特旋轉Riα(θ)表示繞α(=x,y,z)軸做θ角度的旋轉,J耦合演化UJ(1/2J)=e?iσ1zσ2zπ/4. 因此,單比特旋轉操作和J耦合演化能實現任意的幺正操作.

當同核自旋之間的化學位移頻率相差比較大時,可通過選擇性的形狀脈沖來實現單比特的旋轉.一般而言,形狀脈沖的時間長度和核與核自旋之間的化學位移之差成反比.常用的的形狀脈沖是Gaussian型的軟脈沖[32].當同核自旋之間化學位移相差在104Hz左右時(常見于13C譜),1 ms左右時間長度的Gaussian軟脈沖能很好地實現單核π/2,π旋轉操作.當化學位移相差只有1 kHz左右(常見于1H譜)時,實驗效果表明對于π旋轉操作用Hermite型[33]的軟脈沖會有更好的實驗效果.

除了單比特操作外,實驗中還經常用到硬脈沖操作來實現所有13C核或者1H核的同時旋轉.一般整個通道的譜寬往往很大(104Hz量級),由于偏共振效應,處于譜兩邊位置的核實際旋轉角度會比譜中心位置的核的旋轉角度要小.施加脈沖過程中核之間的J耦合也會造成一些誤差.因此,我們采用組合脈沖[34]來實現對所有1H核的π旋轉,以消除硬脈沖的偏共振效應、系統內部哈密頓量等因素所造成的脈沖不完美性的影響.

4.4 脈沖編譯技術

在利用軟脈沖實現單比特旋轉操作時,由于偏共振效應和系統的J耦合演化,脈沖的效果并不完美.為了彌補每個軟脈沖帶來的局部誤差,Laf l amme等[35]開發了脈沖編譯程序,可計算出軟脈沖的誤差.引入一系列的化學位移與σzσz耦合項的前置和后置誤差項,分別用來代表偏共振效應與核耦合效應引起的誤差,表達式如下：

式中Hrf代表射頻場的哈密頓量,代表化學位移演化的前置與后置誤差項,代表σzσz耦合項相應誤差項.我們需要優化這四項參數,使保真度[36]

最大.這項工作可以通過Matlab數值優化程序得以實現,也可以通過平均哈密頓量理論計算出低階的近似[37].

結合巴豆酸樣品,以C1核π/2旋轉為例,我們給出一個具體的Matlab數值優化結果,如表1所列.對角項參數是化學位移演化的彌補誤差和.除了C1核外,其余核均有而=138.35°. 對角線上方的非對角元給出了兩核J耦合演化的前置誤差彌補,對角線下方的非對角元給出了后置誤差彌補.經過優化誤差項后,該脈沖的保真度為ΦS=0.9999.

表1 C1核π/2 Gaussian脈沖的前置誤差項與后置誤差項,數值以角度制形式給出Table 1.Pre-errors and post-errors of π/2 rotation pulse on C1with Gaussian shaped.The unit of the values is degree.

表2列出了利用形狀脈沖對7個量子比特實現單比特的π/2和π旋轉的基本脈沖參數以及經過脈沖編譯后的保真度.

4.5 脈沖序列編譯

對于一定的量子信息處理任務,需要施加一系列的脈沖并演化組合成一定的脈沖序列來實現.在最終設計實際用到的實驗脈沖序列時,我們需要考慮如下幾個因素：

1)盡量消除脈沖的累積誤差,使得整個序列具有較高的保真度,例如前面提到的每個軟脈沖有前置誤差和后置誤差,通過調節脈沖序列的參數盡量讓它們能夠彼此抵消掉;

表2 400 M譜儀上單量子比特旋轉脈沖參數設置Table 2.Parameters of pulses for single-qubit rotations in 400 M spectrometer.

2)在演化期間添加去耦π脈沖,在實現某兩個核之間的J耦合時,我們需要對其余核施加去耦π脈沖,隨著比特位數的增加,去耦脈沖個數會迅速增加,使得序列變得非常復雜;

3)盡可能地減少脈沖操作數目,將某些操作進行合并或者簡化,一般情況下,所用到的脈沖越少最后的實驗誤差也會越小.

針對上述問題,La fl amme等[35]開發了一套脈沖序列的編譯程序.該程序能夠自行優化每個脈沖的入射角度、脈沖之間的時間間隔、去耦π脈沖的位置,并能夠對某些特定的脈沖進行合并.程序用到的原理如下：

1)將繞z軸旋轉操作用通過改變脈沖相位或接收相位來等價實現;

2)利用旋轉坐標系,對每個核進行相位追蹤,結合1來補償掉所有化學位移誤差,例如為了消除單個脈沖后置化學位移誤差,可以在此脈沖后加一個z軸旋轉來抵消,此操作可以歸并到改變核的觀測相位即可,同時在旋轉坐標系中能大大簡化去耦π脈沖的個數,因為不需要考慮再去消除化學位移演化;

3)利用態假設來吸收一部分誤差或者去除一些脈沖操作,例如序列中間某個時刻某兩個核處于最大混態,導致兩者之間的J耦合是沒有作用的,也不需要添加去耦操作;

4)盡量將一些π/2,π脈沖(含去耦脈沖)彼此合并消除;

5)數值優化脈沖之間的時間間隔,主要是為了補償或者消除J耦合的誤差,并使得整個序列最終殘余誤差最小.

4.6 子空間GRAPE

利用GRAPE(gradient ascent pulse engineering)[23]算法可以有效地搜索出實現目標操作的脈沖.其巨大的優勢在于將體系的內部哈密頓量以及一些脈沖的不完美性(如靜磁場和射頻場的不均勻性)考慮在內,通過數值的優化獲得保真度較高的形狀脈沖以實現想要的操作,從而避免了對實驗線路繁瑣的拆門搭建過程,并能大大減少整個實驗線路所需要的時間,減小退相干效應對實驗結果的影響.此項技術在3—5比特NMR實驗中已經得到廣

如果目標操作U可以拆解成直積的形式U=UA?UB,其中UA,UB分別只作用在A,B這兩個子空間內,那么只要搜索得到的脈沖滿足在A子空間A的作用下趨于UA,且在B子空間B的作用下趨于UB,在總的系統哈密頓量的作用下所得的脈沖作用效果就近似趨向于U.因而把在7量子比特空間搜索U脈沖的問題轉換成在4量子比特子空間A和3量子比特子空間B里尋找一個脈沖,使得其在兩個子空間內的作用分別同時趨于UA,UB.這樣就能把一個7比特GRAPE問題分解成2個4比特和2個3比特GRAPE問題(因為這種拆分哈密頓量時有2個A和2個B),從而使得問題得到降維,大大加快程序的運行速度.

按照不同的目標操作,我們可以將樣品按照不同的方式劃分子空間.例如,除了按照樣品空間結構來劃分子空間外,還可以將巴豆酸分子分成由4個13C和3個1H組成的兩個子空間.這種劃分法非常適合于搜索單通道GRAPE脈沖情形.子空間GRAPE對單比特脈沖非常有效,對于巴豆酸樣品,很容易在1 h內就算出整體保證度在99.5%以上的單比特旋轉操作,然而對于多比特操作(2個或者2個比特以上的操作),用子空間GRAPE方法算出來的脈沖整體保真度往往非常低,經驗表明即使子空間脈沖保真度都到達99%以上,整體保真度也只有不到10%的概率會在90%以上.因此在計算多比特GRAPE脈沖時需要反復調試.表2中的H1與H2核的π脈沖就是用子空間方法計算出來的.

4.7 態讀出:量子態層析技術

提取量子計算的結果,必須對末態進行測量.實際上,NMR系綜量子計算的讀出是一個系綜平均弱測量過程.通過采集在接收線圈中由于自旋磁泛的應用.

然而隨著量子比特數的增加,體系的希爾伯特空間維度將呈指數增加,計算GRAPE脈沖所需要的時間以及難度也會呈指數增加.對于7比特樣品GRAPE算法一般只能計算出簡單的單量子比特操作,對多比特操作一般較難算出高保真度的脈沖.即使對于單比特操作,也往往需要較長的時間(大約半天)才能得到99%以上高保真度的脈沖.為了克服GRAPE算法的這個缺點,我們可以利用子空間GRAPE方法[35]進行搜索,即將整個樣品希爾伯特空間分割成幾個小的子空間的組合,分別在子空間中進行數值優化,從而降低目標操作的維度,大大提高GRAPE程序的效率.下面以巴豆酸樣品為例解釋子空間GRAPE方法的原理.

從樣品的結構和參數(圖1(a))上可以看出,可以把整個7量子比特分成兩部分:A={C1,C2,M,H1}和B={C3,C4,H2}.A和B子系統之間只有C2與C3之間有較強的J耦合.因此,(1)式中的整個7比特哈密頓量?H可以近似等效看成A,B兩部分子空間哈密頓量:矩進動感應的振蕩電壓,一個時間響應的自由感應衰減(free induction decay,FID)信號被NMR譜儀的探頭接收,經過傅里葉變換,將原來復雜的FID信號轉化為頻域的頻譜圖,核自旋態信息就被包含在這些傅里葉譜圖里,可以通過譜線積分來獲得每個峰的幅度、相位等信息.

然而隨著比特數的增加,用直接的譜線積分方法來獲得精確的譜線信息變得越來越困難.因此我們可以利用最小二乘法對譜線進行擬合,從而獲得每個峰的位置、幅度、相位、半高寬這些有用信息,以便進行進一步的實驗數據處理.在液態NMR體系中,共振峰的形狀近似是洛倫茨型[38]的,傅里葉變換的譜線信號S(ω)可由下式描述：

Re代表取實部,Ak,φk,λk,ωk分別代表第k個共振峰的幅度、相位、半高寬以及中心頻率.通過Matlab可以擬合出這些參數,從而得到所有有用的信息.在實際擬合過程中,借助于熱平衡譜能設置較好的參數初始值,這樣能大大提高擬合的速度并最終得到擬合結果.

如果想要知道量子態全部的信息,通常采用的方法是量子態層析技術[39],運用不同的觀測脈沖將描述系統輸出態的密度矩陣完全重構出來.對于n量子比特樣品,其密度矩陣的維度是N=2n,由N2?1個獨立的參數決定.對任意的量子態進行完全重構可以用5N?6個觀測量來實現[27].隨著量子比特數n的增加,進行完全量子態重構所需要的測量次數是指數增長的.對于多量子比特量系統,實驗上已經非常難以實現完全的態層析.針對不同的計算目的,如果我們只關心密度矩陣的部分子空間信息,可以只對系統小的子空間進行讀出,以大大減少讀出脈沖的個數[40].近年來一些量子態重構的方案不斷被提出來用以減少態重構過程的測量次數.例如基于在子空間上進行的幺正操作來進行態重構[27],這種方法可對多種類型的量子態進行重構,尤其是針對可以很好地近似為矩陣乘積的量子態.還可以通過壓縮感知的方法對接近純態的密度矩陣進行自適應測量,將測量次數降低到2N?1次[28],但隨量子比特數的增加依然需要指數增長的資源.

4.8 贗純態制備

量子算法一般要求將所有的計算量子比特制備到一個合適的初態,通常為基態|0?n〉.然而,室溫下NMR自旋體系處于熱平衡態是一個高度混和態,不適合作為量子計算的初態.Vandersypen和Chuang[41]以及Cory等[42]提出了贗純態的概念來代替純的基態,使得液態分子NMR量子計算成為可能.贗純態的密度矩陣具有如下形式:

式中n代表比特數,I是2×2的單位矩陣,ε～10?5代表ρpps的有效純度.除了信號強度減小ε外,(6)式中的贗純態和純態|0?n〉有相同的演化規律和觀測信號.

然而制備如此一個贗純態并非一件容易的事,因為贗純態需要引入非幺正的過程.至今已經發展了許多制備方法,例如空間平均法[24]、時間平均法[25]、線選脈沖[26]等.2000年,Knill等[13]提出了貓態法制備贗純態的方案,此方法具有簡潔而有效擴展的形式,很容易應推廣到多量子比特體系實驗中.下面我們以巴豆酸樣品為例,結合以上的各種技術,通過貓態法實驗制備7比特贗純態.

4.8.1 貓態制備法

貓態制備法由編碼和解碼兩部分組成.編碼過程是將態由IIIIσzII制備成最大量子相干態σxσxσxσxσxσxσx, 通過相位循環制備最高7階的量子相干項I+?7+I??7,這也對應于貓態中的相干項,這里I±=(σx±iσy)/2,σx,y,z為泡利算符.圖4(a)是在巴豆酸樣品中實現這個編碼過程的量子線路圖.原則上,通過7次的相位循環實驗,其中第k次對每個比特施加繞z軸旋轉?k=2kπ/7角度(即在第k次相位循環脈沖相位增加?k),將7次實驗累加起來,就能得到只含有7階量子相干項態.為了進一步消除0量子相干項,我們采用14次相位循環,其中第k次對每個比特施加繞z軸旋轉?k=角度.

解碼過程是將最高7階量子相干項態I+?7+I??7解碼為輔助比特標記的贗純態00000σz0,這里態|0〉〈0|簡記為0.這樣就得到了以H1作為標記位的6比特贗純態.圖4(b)是在巴豆酸樣品中實現這個解碼過程的量子線路圖.對這個線路做一定的修改,可獲得以7個核中的任意一個核自旋作為標記比特的贗純態,本質上沒有任何區別.

圖4 (網刊彩色)利用貓態法在巴豆酸樣品上制備標記贗純態的量子線路圖 (a)編碼過程;(b)解碼過程Fig.4.(color online)Quantum circuit for pseudo-pure state preparation using cat-state method on the crotonic acid:(a)Encoding procedure;(b)decoding procedure.

4.8.2 實驗過程與結果

7比特標記贗純態制備實驗在Bruker AV-400 MHz譜儀上進行.實驗的基本過程為:1)對樣品施加4.1節中的射頻選擇脈沖;2)通過π脈沖和梯度場消除除甲基氫外的其余所有核自旋的極化,然后通過4.2節中甲基氫自旋1/2子空間選取序列制備態IIIIσzII;3)通過貓態法制備贗純態的編碼和解碼過程獲得標記的贗純態00000σz0;4)通過測量確認態的信息.

首先通過4.4節中的脈沖編譯技術計算并優化每個核自旋π/2和π脈沖的前置和后置誤差(參見表1和表2),用到了Gaussian型和Hermite型軟脈沖,利用4.6節中的子空間GRAPE程序計算H1和H2上的GRAPE脈沖.然后通過4.5節中的脈沖序列編譯技術對甲基氫自旋1/2子空間選取(圖3),并對貓態法制備贗純態的編碼和解碼(圖4)的量子線路進行優化,自行進行添加去耦脈沖、消除誤差、合并脈沖等操作,經過編譯后整個實驗序列時間只需要132 ms,脈沖序列的理論末態保真度為97.48%.實驗中我們在樣品中施加優化通過相位循環后優化的脈沖序列,最后通過譜線測量對實驗結果進行檢測.

由于標記贗純態具有00000σz0的形式,因此贗純態的特征是,在H1上的觀測(對H1施加π/2旋轉的讀出脈沖)只有一個對應于其他6個核自旋在|000000〉〈000000|態的單峰出現,如圖5(a)所示,在其他峰的位置沒有可觀測的信號,與實施圖4之前的參考信號的強度之比大約為14%.為了進一步確認實驗結果,我們分別對其他6個核自旋也進行了讀出操作,即對每個核自旋施加π/2旋轉的讀出脈沖,觀測對應核自旋的譜線信息,理論上應為2條方向相反、幅度相等的雙峰出現,如圖5(b)—(h).圖5所示的實驗譜與理論預期基本相符.

圖5 (網刊彩色)標記贗純態00000σz0制備的實驗結果 (a),(b)和(c)分別代表H1,H2和M核的實驗譜;(d),(e),(f)和(g)分別代表C1,C2,C3和C4核的實驗譜;圖中藍線代表標記贗純態的實驗譜線,紅色代表熱平衡態譜線,所有譜線都是通過對該核自旋施加π/2旋轉的讀出脈沖獲得Fig.5. (color online)Experimental reulsts of preparing 7-bit labeled pseudo-pure state 00000σz0:(a),(b),(c)represent the experimental spectra of H1,H2and M respectively;(d),(e),(f)and(g)represent the experimental spectra of C1,C2,C3and C4respectively.The blue lines are for labeled pseudo-pure state and the red ones are for thermal equilibrium state.The M signal is amplif i ed by 4 times.All spectra are recorded after a π/2 reading-out pulse on the corresponding spin.

實驗誤差主要有五方面:1)對于經過脈沖優化后的序列,序列整體操作的理論誤差仍有2%左右;2)樣品參數測量不是完全精確的,會進一步影響脈沖序列的保真度;3)盡管實驗中通過射頻選擇方法消除了大部分脈沖和磁場不均勻性的影響,但是實際實驗中仍然存在脈沖的不完美性;4)弛豫的影響;5)實驗譜線分辨率不夠和信噪比低對實驗讀出結果的影響等.

5 展 望

本文結合7比特贗純態制備以及其他有關實驗介紹多比特NMR實驗技術,尚有很多其他方面的多比特實驗理論和技術未能述及.就像之前的低比特實驗技術一樣,相信在NMR中發展的多比特量子控制技術在不久的將來也會不斷應用到諸如NV色心、離子阱等量子體系中,使這些技術得到更廣泛的應用.

雖然近幾年量子計算和量子信息方面取得了不少突破,然而多量子比特實驗還有更多的問題有待解決.這里,我們簡要地總結了NMR多量子比特實驗未來可能研究的重要問題.

1)開發新型的多量子比特樣品.目前已經開發成熟的多比特樣品還很少,具有優異的系統參數的樣品能夠很大程度上簡化實驗的難度.例如我們希望能盡可能地區分開譜圖上每個核的峰,核與核之間耦合系數不要太小,退相干時間能盡可能地長等.最近有些實驗方案開始利用液晶樣品,這是源于液晶樣品有較強的偶極-偶極耦合,可能有助于提高GRAPE算法的成功率[43].

2)提高信噪比.目前已有的NMR譜儀靜磁場強度已達到20多特斯拉,通過增加靜磁場強度在未來已經很難再有效地提高多比特實驗中的信噪比.很多理論方案都在試圖克服核磁體系的可擴展性問題.其中冷卻算法[44]能有效地提高系統初始極化度,是一個很有可能解決這個難題的方法.近期也有不少新型冷卻算法研制出來.

3)實現更復雜的量子操控.如何在多量子比特平臺上實現復雜的量子操控還是一個未解決的問題.基于GRAPE技術,很多新的優化算法試用于多量子比特體系上.最近也有人試圖通過閉環控制來實現量子反饋[20],以此來克服在經典計算機實現GRAPE算法所需指數增長的時間問題.

4)快速有效的系統模擬、態讀出等其他有效性問題.這些問題都源自于描述量子系統的希爾伯特空間維度隨著量子比特位數以指數速度的增長,傳統的計算方法所耗費的資源太大,需要我們從理論上設計研制出新的方案來解決這個問題.

感謝加拿大R.Laf l amme實驗組提供的脈沖和序列編譯程序;感謝北京計算科學研究中心李俊、滑鐵盧大學(University of Waterloo)魯大為和多特蒙德大學(Technische Universit?t Dortmund)張競夫在文章撰寫過程中的討論.

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