一種基于二叉樹與回歸分析法的可轉債定價模型研究

滕菲菲

摘 要：重點研究二叉樹法和回歸分析法在可轉債定價中的應用，介紹了本文重點使用的兩個研究工具——二叉樹模型和回歸分析法、應用背景及其在可轉債定價上的優勢，通過回歸分析法驗證了二因子定價理論的科學性，。第四部分是本文的重點章節，運用二叉樹法對9支可轉債樣本進行了定價，結果證明二叉樹模型在模擬歐式看漲期權價格上具有一定的準確度。運用回歸分析法求出可轉債的實際價格和理論價格的函數關系式，對函數關系式進行了F檢驗，并對樣本進行了預測，成功預測了其中7支可轉債的走勢，2支由于受到贖回和政策處罰導致預測失敗。

關鍵詞： 二叉樹法 回歸分析法 可轉債定價 金融衍生品

一、二叉樹模型建立

（一）假設無風險收益率固定

首先建立單步二叉樹模型，以So為起點，Su、Sd為終點。So是可轉債的定價日，終點Sd與Su則是可轉債的到期日。

其次，在[Δt]的選擇上，數值越小越好，因為可轉債的存續時間較長，通常在5年左右，所以設定t=1/12。

第三，計算可轉債理論價格。當股票上升時，有效期末組合價值為[Sou-fu]；當股票下降時，有效期限組合價值為[Sod-fd]。

以股票價格上升階段為例，探討二叉樹法的計算過程。

在股票價格上升階段，根據無風險套利原則可知：[SouΔ-fu=SodΔ-fd]，求出[Δ=fu-fdsu-sd]；

此時，在To時刻的可轉債的買入成本為[SoΔ-fu]；To時刻之后的可轉債的現值為[[SoΔ-fu]e-rt]；股票價格下跌階段的可轉債現值推導過程與上漲階段類似。

令[SΔ-f=[SuΔ-fu]e-rt]，[Δ=fu-fdsu-sd]；

能夠得出[f=ert[pfu+（1-p）fd]]；

其中： [p=a-du-d] ；[a=erσt]；[u=eδtσ]；[d=eδt-σ] ；

在這種定價方法中，根據風險中性原則認為股票的期望收益率等價于無風險利率。

（二）選擇連續無風險復利率

連續無風險復利理論數值=無風險利率+預期的通貨膨脹率+補償投資者的風險利率。選擇同期限國債收益率與銀行定期存款利率孰高作為貼現率，最終確定連續無風險復利率約為5%，并且假設在可轉債存續期間內無風險利率不變。

實際中的貼現率與企業信用評級掛鉤，根據利率期限結構理論，可轉債存續期的長短對理論水平有一定的影響。利率期限結構理論指的是某個時點上，不同期限資金的收益率（Y）與到期期限（M）之間的關系。利率期限結構理論是描述利率隨時間變化而變化的重要理論，在此基礎上形成的收益曲線對未來長期利率走勢具有較好的預測功能。

樣本可轉債的存續時間均為5年以上10年以下，因此利率期限結構理論對定價結果的影響不大。

（三）選擇歷史波動率方法計算股票波動率

股票價格波動率的計算較為復雜，自可轉債發行之日為起點觀測股票價格，選擇兩年415個交易日的股票交易價格，剔除因為派息、送股、增發和配股影響造成的異動價格，對股票價格取自然對數1nPt，先計算股票的收益率。

以格力地產為例，對股票收益率繪制直方圖，驗證可轉債收益率滿足正態分布。最后按照全年260個交易日計算，年化為股票波動率，將其作為可轉債定價的基本參數[σ]

選擇2014—2016年的共計415個股票交易日的收盤價格，計算股票收益率并求出頻數，繪制出價格分布直方圖。從得到的圖像來看，格力地產股票收益率基本符合正態分布。

二、二叉樹與回歸分析法計算可轉債價格模型建立

（一）回歸模型的建立與檢驗

[理論價格與實際價格回歸統計表＼&Multiple R＼&0.995633＼&R Square＼&0.991285＼&Adjusted R Square＼&0.866285＼&標準誤差＼&12.1765＼&觀測值＼&9＼&]

建立回歸預測模型與模型的F檢驗

根據變量之間的相關關系，用恰當的函數公式表達出來。通過繪制9支有效樣本理論價格和實際價格的散點圖，運用軟件求導出關于可轉債實際價格的回歸方程：

[y=0.0013x4-0.6692x3+125x2-10329x+318675]

其中R平方值為 = 0.8501，R∈[0，1]，兩者滿足正相關關系，同時R平方值為0.8501，說明可轉債實際價格與理論價格高度相關。

[F-檢驗 雙樣本方差分析＼& ＼&理論價格＼&實際價格＼&平均＼&122.5328＼&120.6323＼&方差＼&120.9703＼&91.6296＼&觀測值＼&9＼&9＼&Df＼&8＼&8＼&F＼&1.32021＼&＼&P（F<=f） 單尾＼&0.351895＼&＼&F 單尾臨界＼&3.438101＼& ＼&]

綜上所述，本模型理論上滿足統計學的檢驗指標，可以用于預測樣本可轉債實際價格。

（二）利用該模型預測可轉債實際價格

洛鉬轉債在觀測期內發生提前贖回小概率事件；15天集EB實際價格雖然與預測價格差距較大，但可轉債價格較前一個交易日上漲了0.11元，該模型成功地預測了上漲趨勢；航信轉債在2016年3月因為交易異常遭到了證監會的處罰。

綜上所述，9支可轉債中成功預測了7支可轉債實際價格變化趨勢，最小的誤差僅為0.4元，該模型能夠較好的預測可轉債理論價格。