方程在數(shù)學(xué)建模中的思想及應(yīng)用研究

肖瀟

【摘 要】在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常微分方程是非常重要的一項(xiàng)學(xué)習(xí)內(nèi)容。在本文中，將就方程在數(shù)學(xué)建模中的思想及應(yīng)用進(jìn)行一定的研究。

【關(guān)鍵詞】方程；數(shù)學(xué)建模；思想；應(yīng)用

1.引言

在初等數(shù)學(xué)中，方程類型有指數(shù)方程、三角方程以及線性方程等類型，而對于這部分方程來說，其在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中的作用有限，并不能夠?qū)λ械膶?shí)際問題進(jìn)行解決。在該種情況下，要做好實(shí)際問題的研究，就需要能夠?qū)ふ夷軌驅(qū)Σ糠謼l件進(jìn)行滿足的未知數(shù)方程。其中，數(shù)學(xué)建模正是對實(shí)際問題當(dāng)中復(fù)雜程度較高現(xiàn)象進(jìn)行分析的有效方式，在實(shí)際數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中，通過對其中能夠以數(shù)學(xué)語言描述規(guī)律以及關(guān)系的發(fā)展，則能夠在將恰當(dāng)數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行抽象的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，并通過數(shù)學(xué)系統(tǒng)方式的應(yīng)用求解數(shù)學(xué)問題，以此實(shí)現(xiàn)對現(xiàn)實(shí)問題的解釋。

2.常微分方程同數(shù)學(xué)建模的結(jié)合

對于事物來說，其始終處于發(fā)展與變化的過程當(dāng)中，而其中部分對象的特性，也將隨著時(shí)間的發(fā)展而逐漸變化，且在變化當(dāng)中具有一定的規(guī)律性，以此則能夠?qū)崿F(xiàn)其未來狀態(tài)的預(yù)測，而要想尋找到對其控制的方式，則需要做好對象動態(tài)模型的建立。在根據(jù)不同類型對象進(jìn)行建模處理之前，則需要能夠提前根據(jù)實(shí)際需要解決的問題類型以及建模目標(biāo)進(jìn)行假設(shè)以及簡化處理，之后再根據(jù)對象內(nèi)部當(dāng)中存在的規(guī)律以及類比情況列出相關(guān)的微分方程，在求解方程、將其實(shí)現(xiàn)為實(shí)際對象翻譯后做好相應(yīng)的描述、分析等工作。數(shù)學(xué)建模的過程，其實(shí)質(zhì)正是具有較強(qiáng)創(chuàng)造性思維的過程，在該過程中，將對實(shí)際問題本質(zhì)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)問題的解決，不僅內(nèi)容來自實(shí)際，在獲得結(jié)果之后，也會將其科學(xué)的應(yīng)用在實(shí)際問題的解決。根據(jù)該種情況，在面對實(shí)際問題需要處理時(shí)，就需要能夠提前選擇好解決問題的切入點(diǎn)，在充分聯(lián)系方程內(nèi)容、特點(diǎn)的情況下體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想。對于數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)而言，其為具有長期、持續(xù)特征的過程，并不會立即獲得效果，且同積極的鉆研具有不可分割的關(guān)系，同純粹能力不同，其在實(shí)際運(yùn)行中也離不開相關(guān)的鍛煉以及培養(yǎng)，通常來說，在對模型建立時(shí)，其也將具有較為明顯的動態(tài)特點(diǎn)，該種特點(diǎn)的存在，則使我們在對方程進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)具有著非常繁瑣的特征，且具有十分簡明的結(jié)果，并在此基礎(chǔ)上給出正確的解釋。對此，在實(shí)際問題處理當(dāng)中就需要對兩項(xiàng)內(nèi)容進(jìn)行充分而全面的結(jié)合，在對其作用充分發(fā)揮的情況下解決更多的實(shí)際問題。

3.數(shù)學(xué)建模中常微分方程的應(yīng)用

3.1新產(chǎn)品推廣

在管理科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)當(dāng)中，經(jīng)常需要對經(jīng)濟(jì)變量邊際、變化以及增長相關(guān)問題進(jìn)行研究，通常情況下，不僅需要能夠做好實(shí)際情況的充分把握，還需要在此基礎(chǔ)上按照要求建立模型，及時(shí)尋找到其中蘊(yùn)藏的經(jīng)濟(jì)變化規(guī)律，并做好預(yù)測以及分析處理。目前，模型具有著較多的類型，其中更常見的即為推廣、價(jià)格調(diào)整以及人才分配模型，在該項(xiàng)研究中，我們以推廣模型為案例進(jìn)行研究。在該題目中，首先設(shè)某企業(yè)具有一項(xiàng)新產(chǎn)品需要面向市場推廣，t時(shí)刻下，該產(chǎn)品在市場中銷量為x（t），由于該產(chǎn)品在性能方面具有較好的表現(xiàn)，具有較好的宣傳力，對此，在t時(shí)刻，該產(chǎn)品的增dt/dx同x（t）之間成正比。考慮到產(chǎn)品在銷售當(dāng)中具有市場容量N，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)則可以發(fā)現(xiàn)，dt/dx對沒有對產(chǎn)品進(jìn)行購買顧客的潛在銷量N-x（t）具有正相關(guān)關(guān)系，由此可得：

dt/dx=kx（N-x）

其中，常數(shù)k為比例系數(shù)，始終大于0，在對積分以及變量進(jìn)行分離后，則可以獲得有：

x（t）=

所得到的該表達(dá)式即稱之為邏輯斯蒂曲線，由=以及=可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)00，即銷量x（t）為單調(diào)增加，當(dāng)x（t ）=時(shí)，=0。經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷量為最大需求量N的50%時(shí)，此時(shí)該產(chǎn)品最為暢銷，當(dāng)銷量沒有達(dá)到50%時(shí)，銷售速度則將處于不斷增加的狀態(tài)，當(dāng)銷量在50%以內(nèi)時(shí)，其銷量速度則將逐漸減小。

3.2動力學(xué)模型

在微分方程當(dāng)中，動力學(xué)是早起內(nèi)容，其基本定理即為f=ma。該定理也正是我們以微分方程解決動力關(guān)系問題的關(guān)鍵方式。當(dāng)物理處于自由下落過程中時(shí)，有兩項(xiàng)將對其產(chǎn)生重要的影響，其中第一項(xiàng)因素為重力作用，第二項(xiàng)因素即為阻力作用。在這兩種因素中，物理下落速度降同重力間具有正相關(guān)的聯(lián)系，同空氣阻力具有負(fù)相關(guān)聯(lián)系。此時(shí)，則可以設(shè)運(yùn)動員的質(zhì)量為m，其在跳傘過程中，降落傘因受到空氣阻力影響，則將同下落速度間具有正比的關(guān)系。此時(shí)，求該將落下降速度的變化規(guī)律。具體解答方面，首先將空氣的阻力系數(shù)設(shè)為k，在t時(shí)刻下，物體的下落速度為v，于是在t時(shí)刻下，其將受到的力為f=mg-kv，根據(jù)牛頓第二定律，則可以列出微分方程為：m=mg-kv，在經(jīng)過對變量的分析處理后，可得=，在經(jīng)過積分處理后得到：-ln|mg-kv|=+C1，在求解后，則可以得到，當(dāng)t取向正無窮情況下，可以獲得limv（t）=。

根據(jù)測定，k=αρs，其中，ρ為介質(zhì)密度，s為物體在地面上投影面積，α為同物體形狀具有關(guān)聯(lián)的常數(shù)。在實(shí)際設(shè)計(jì)中，將根據(jù)該公式對降落傘所需的直徑大小進(jìn)行計(jì)算，即當(dāng)跳傘著在空中的時(shí)間足夠長時(shí)，其到達(dá)地面的速度同常速mg/k近似相等，且不會超出該常速，在該種情況下，該名跳傘著才能夠安全的降落到地念，且其自由落體將根據(jù)加速度g落到地面。

4.結(jié)束語

經(jīng)過上文的一系列研究，我們則可以了解到，數(shù)學(xué)相關(guān)理論的形成， 正是為了解決實(shí)際生活當(dāng)中問題而進(jìn)行的，而在實(shí)際建立數(shù)學(xué)模型的過程中，也正需要使用數(shù)學(xué)理論作為指導(dǎo)使其能夠在實(shí)際問題解決當(dāng)中實(shí)現(xiàn)自身作用的充分發(fā)揮，并提前做好理論形成情況以及理論自身的理解，以此更好的解決實(shí)際問題。在實(shí)際生活中，即在充分觀察問題的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化理論向能力的過程，并通過建模方式的應(yīng)用不斷實(shí)現(xiàn)常微分方程的求解，使其在相關(guān)領(lǐng)域當(dāng)中能夠?qū)崿F(xiàn)自身作用的充分發(fā)揮。通過該方面的研究，也為我們未來數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)帶來了新的思路，在未來學(xué)習(xí)當(dāng)中，需要能夠做好該思想的把握，在實(shí)際當(dāng)中更好的實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用。

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