基于傳遞函數模型的白銀價格分析與預測

（湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002）

基于傳遞函數模型的白銀價格分析與預測

余云彩，劉 玲，胡宏昌，肖勁光

（湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002）

本文基于紐約商業交易所（COMEX）公布的2008年1月至2015年4月白銀和黃金月收盤價數據，建立反映黃金與白銀價格動態變化的傳遞函數模型，并與2015年5月至2016年2月的真實值進行比較分析，結果顯示，傳遞函數模型的預測效果明顯優越于回歸模型和ARIMA模型，最后用傳遞函數模型對2016年2月之后10期白銀月末收盤價進行預測，為白銀產業鏈條企業及相關投資者提供參考與決策。

白銀價格；傳遞函數模型；回歸模型；ARIMA模型；預測

一、引言

明朝嘉靖八年（1529）白銀正式成為法定貨幣，直至1935年國民黨政府放棄銀本位制，至此存續了406年。同黃金的強金融屬性相比，白銀逐漸褪下貨幣光環，成為名副其實的商品。那么，今時今日的“商品”白銀和“金融”黃金之間的價格是不是完全脫鉤了呢？這里面蘊藏著兩層含義：一是黃金與白銀二者之間的價格是否存在較強的相關性；二是黃金價格變動與白銀價格的變動是否還存在很強的相關性。樊元等（2012）指出黃金與白銀價格的變動方向與趨勢基本一致，并建立了反映兩者關系的回歸方程。Christian Pierdzioch等（2015）用剩余增廣最小二乘（RALS）檢驗黃金和白銀價格的協整關系，結果表明兩者沒有長期的協整關系。李燕平等（2015）用VAR模型研究了白銀價格的波動性，得出黃金價格對白銀價格的波動影響最顯著的結論。劉澄等（2007）考慮黃金和白銀價格的線性比例，分析了兩者的數理關系，并且建立了黃金價格與白銀價格變動率的回歸模型，但由于時間的可變性，使得這種方法有所局限。王維瑋（2015）在分析全球白銀供需狀況的基礎上，對白銀價格進行了短期的宏觀預測。本文基于黃金價格對白銀價格有巨大影響，并且這種影響是動態的這一事實，選取紐約商業交易所（COMEX）公布的2008年1月至2015年4月白銀（SI）和黃金（GC）的月收盤價，用黃金價格作為輸入變量來研究白銀價格這一輸出變量，借助SAS軟件建立反映黃金價格對白銀價格動態影響的傳遞函數模型，并將回歸模型、ARIMA模型和傳遞函數模型未來10年的預測結果與真實結果進行比較，從而對白銀價格進行更準確的預測。

二、傳遞函數模型

ARIMA模型和回歸模型在實際建模中發揮著重要作用。然而在實際中，一個時間序列未來的發展趨勢不僅與自身過去的行為相關，而且還受另一個時間序列的影響，這使得ARIMA模型的應用受到限制，由于兩序列之間的影響可能是同步的，也可能是滯后的，并且這種過程呈現出動態性，所以回歸模型的結果也不盡人意。為了克服以上兩種模型的弊端，本文引進由George E.P.Box和Gwilym M.Jenkins等提出的傳遞函數模型。

1、傳遞函數模型的原理

記時刻t的輸入序列和輸出序列分別為Xt，Yt，令

由于傳遞函數v（B）參數太多，并且計算過程冗雜，在實際中，我們用有理函數來近似表示：

其中，P（B）=1-ω1B-ω2B-…-ωsBs，Q（B）=1-δ1B-δ2B-…-δrBr，b表示Xt延后b期影響Yt，C為刻度參數，P（B），Q（B）分別是次數為s和r的滯后算子多項式。尤其當一個序列對另一個序列的影響同步（即b=0時），實際應用的傳遞函數模型可以寫成如下形式：

2、傳遞函數模型的建立

傳遞函數模型的建立有預白噪聲化和最小平方兩種方法，本文用預白噪聲化法，具體步驟如下：第一步，識別輸入序列的適應性模型，并對其預白噪聲化。第二步，計算兩序列平穩化后的交互相關函數，識別初步傳遞模型。第三步，鑒別初步傳遞函數模型殘差的白噪聲性，確定最后的傳遞模型。

三、白銀價格傳遞函數模型的建立

1、數據來源與描述

2018年7月22至29日在美國路易斯安納州新奧爾良市舉行了“新奧爾良國際鋼琴比賽”。比賽結果如下：獲得第一名的是中國的Ziang Xu；獲得第二名的是韓國的Sung Chang；獲得第三名的是韓國的Jae Weon Huh。此外，共有12位選手參加最后的決賽。

本文選用紐約商業交易所（COMEX）公布的2008年1月至2015年4月白銀（SI）和黃金（GC）月收盤價，記Yt為t月份的COMEX白銀月末收盤價，Xt為t月份的COMEX黃金月末收盤價。

圖1、圖2顯示黃金價格Xt和白銀價格Yt均呈現先上升后下降的趨勢，并且兩者呈現出非常強烈的正相關性。在這近8年間，有兩個階段比較引人關注：其一，2008年金融危機爆發，國際經濟大幅下滑，白銀價格有所下滑，黃金價格亦有小幅度下降。此后，黃金由于其儲備貨幣及避險功能，價格大幅上漲，而白銀價格持續低迷。其二，2010年至2011年，白銀價格暴漲，一度接近其歷史最高值，而黃金價格也持續上漲，但增長速率比白銀價格要慢。2012年至2015年，國際經濟復蘇，美元價格回升，白銀價格回落。

表1 ▽Xt模型的參數估計

圖1 黃金價格Xt時序圖

圖2 白銀價格Yt時序圖

表2 ▽Xt模型的殘差白噪聲檢驗

表3 ▽Xt與▽Yt的交互相關函數

表4 初步傳遞函數模型的參數估計

表5 初步傳遞模型殘差的白噪聲檢驗

表6 輸入序列▽Xt與模型殘差at的交互相關性檢驗

表7 Yt序列ARIMA模型的參數估計

2、建立傳遞函數模型

（1）識別Xt的適應性模型，并進行預白噪聲化。由黃金和白銀價格的時序圖可看出其不平穩性，我們對兩序列同時進行一階差分，令▽Xt=Xt-Xt-1，▽Yt=Yt-Yt-1。

由表1和表2可知，▽Xt的適應模型為ARMA（1，2），

其中，序列at為白噪聲序列。

（2）計算▽Xt與▽Yt的交互相關函數，識別初步傳遞模型。從表3可以看出，▽Xt和▽Yt的樣本互相關函數在延遲0階處顯著不為零，說明▽Xt對▽Yt的影響是同期的，即b=0，我們取s=2，k=2提出如下模型：

根據表4，初步傳遞函數模型可寫成：

（3）檢驗ηt的白噪聲性，確定最后的傳遞模型。由表5知，0.0511＞0.05，表明前面建立的傳遞函數模型殘差at顯著平穩，可認為是隨機白噪聲序列。由表6知，互相關函數顯著為零，輸入序列▽Xt與模型殘差at相互獨立，模型有效。最終得到的傳遞函數模型為：

四、傳遞函數模型與ARIMA模型、回歸模型預測效果的比較

從形式上，傳遞函數模型可看作ARIMA模型與回歸模型的結合，為了檢驗傳遞函數模型的預測效果，本文對單個序列Yt建立了ARIMA模型，并對Xt和Yt序列建立了回歸模型。

1、ARIMA模型

由于本文研究的重點是傳遞函數模型，所以建立ARIMA模型的具體過程此處省略，最終模型建立如下：

表8 Yt序列ARIMA模型殘差白噪聲檢驗

表9 回歸模型的參數估計

表10 三種模型與真實值的比較

表11 傳遞函數模型對2016年3月至2016年12月白銀價格的預測

圖3 三種模型的預測結果與真實值的比較圖

其中，εt是白噪聲序列。

表7顯示，白銀價格Yt序列擬合的ARIMA模型參數顯著。表8表明Yt序列擬合的ARIMA模型殘差為白噪聲，模型可用于預測。

2、回歸模型

根據劉澄等（2007）建立回歸模型的方法，視Xt為自變量，Yt為因變量，先去除COOK距離大于0.04的強影響點（第51，52，53，55，56個觀測值），再用最小二乘估算回歸參數，最終建立Yt與Xt的一元回歸方程為：

由表9可知，回歸方程的參數顯著，此結果與劉澄等（2007）建立的回歸模型非常接近，可以用于對白銀價格的預測。

3、三者預測結果與真實值的比較

為了評估傳遞函數模型的預測效果，我們將傳遞函數模型、回歸模型、ARIMA模型對未來10期的預測結果與2015年 5月至2016年2月COMEX白銀月收盤價真實值進行比較。

表10顯示，在相對誤差的意義下，傳遞函數模型的預測效果明顯優于回歸模型和ARIMA模型，所以筆者認為在對多變量時間序列建模時，使用傳遞函數模型更能準確把握未來發展趨勢。圖3則更直觀地顯示了傳遞函數模型優越的預測效果。

五、白銀價格的分析與預測

黃金與白銀價格兩者之間存在相關關系，兩序列一階差分后平穩，并且交互相關系數顯著為零，表明兩者沒有長期的協整關系。從擬合的結果來看，用黃金價格作為輸入序列的傳遞函數模型在分析白銀價格未來走勢上具有很好的可信度。下面用傳遞函數模型對2016年3月至2016年12月的COMEX白銀月收盤價進行長期的預測，由于建模過程跟之前的建模過程類似，此處略，預測結果見表11。

結果顯示，2016年全球經濟將仍處于修復期，上半年白銀價格仍有繼續下探的趨勢，7—8月會降到全年的最低價，9月會有所上升，但是漲幅不是很大，10月會下跌，11—12月白銀價格有所回升，但總體來看全年白銀價格波動不大。

[1] Christian P.，Marian R.，Sebastian R.. Cointegration of the Prices of Gold and Silver：RALS-Based Evidence[J].Finance Research Letters，2015（15）.

[2] 李燕平、趙翔宇：基于VAR模型的白銀價格影響因素分析[J].經濟問題，2015，10（12）.

[3] 樊元、王群：黃金白銀投資比較及價格影響因素分析[J].商業研究，2013，1（11）.

[4] 劉澄、張均東：國際黃金、白銀價格變動的實證分析[J].特區經濟，2007（12）.

[5] 王維瑋：2014年白銀市場分析及2015年市場展望[J].中國貴金屬，2015（1）.

[6] 肖枝洪、郭明月：時間序列分析與SAS應用[M].武漢：武漢大學出版社，2009.

[7] 汪遠征、徐雅靜：傳遞函數模型在我國GDP數據分析中的應用[J].數學的實踐與認識，2007，37（16）.

[8] 朱宗元、王秋霞：基于傳遞函數模型的我國社會消費品零售總額預測[J].統計與決策，2010，10（24）.

（責任編輯：劉冰冰）

國家自然科學基金項目，相依回歸模型與擴散過程的統計推斷及其應用，編號：1471105。