基于化歸思想的高中數(shù)學(xué)應(yīng)用研究

周子堯

摘 要：在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，我們會(huì)遭遇各式各樣的問(wèn)題，能否解決這些問(wèn)題才是我們學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，而解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法很多，但其核心都在于解題思路，這種清晰而又正確的解題思路被稱為化歸思想。基于此，該文簡(jiǎn)單分析了化歸思想的內(nèi)涵、明確內(nèi)容、模式以及原則，并通過(guò)一些實(shí)際應(yīng)用闡述了化歸思想在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用中的重要性。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 化歸思想 解題思路

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）11（b）-0128-02

化歸思想是一種常見(jiàn)而又特殊的解題思想，同時(shí)，也是一種最基本的思維策略，更是一種切實(shí)可行的數(shù)學(xué)思維方法。簡(jiǎn)單地說(shuō)，化歸思想就是指我們?cè)诮鉀Q某一數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換的形式，轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的、易求解的、具體的、直觀的問(wèn)題，從而解決問(wèn)題的一種方法。在高中數(shù)學(xué)例題中，化歸思想無(wú)處不在，它能有效地減少學(xué)生解題的時(shí)間，而且還能增強(qiáng)學(xué)生解題后獲得的成就感，同時(shí)，還能鍛煉學(xué)生解題思維能力。正因如此，化歸思想受到了廣泛的關(guān)注。

1 化歸思想分析

1.1 內(nèi)涵

根據(jù)筆者對(duì)化歸思想的認(rèn)識(shí)，其內(nèi)涵可以表達(dá)為用真命題證明新命題，用現(xiàn)有概念來(lái)定義新概念，并以此來(lái)處理各種新問(wèn)題，也正是這種特殊的內(nèi)涵，使得數(shù)學(xué)可以通過(guò)一定的改造與手段來(lái)構(gòu)建一些新的體系，讓數(shù)學(xué)內(nèi)容與形式變得豐富多彩。而在高中數(shù)學(xué)中，化歸思想的影子隨處可見(jiàn)，如方程求解化歸為一元或二元方程求解，立體幾何問(wèn)題通過(guò)空間向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差或者等比數(shù)列問(wèn)題，函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問(wèn)題等。

1.2 明確內(nèi)容及模式

在應(yīng)用化歸思想時(shí)，應(yīng)注意明確三項(xiàng)內(nèi)容：化歸的對(duì)象、化歸的目標(biāo)以及化歸的途徑。其中，化歸的對(duì)象為轉(zhuǎn)化變更部分；化歸的目標(biāo)是將化歸的對(duì)象轉(zhuǎn)化為能處理的問(wèn)題；化歸的途徑是為實(shí)現(xiàn)化歸的目標(biāo)所采取的方法。這種途徑在我們高中數(shù)學(xué)里常見(jiàn)的形式有：換元、配方、割補(bǔ)、向量表達(dá)等，我們可以將此分為三大類：數(shù)量特征的轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)形式特征的轉(zhuǎn)化、位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化。而化歸思想的一般模式如圖1所示。

1.3 原則

化歸思想所要遵循的一般原則有：簡(jiǎn)單化原則、具體性原則、標(biāo)準(zhǔn)化原則、和諧統(tǒng)一性原則以及低層次化原則。

2 化歸思想在高中數(shù)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用

2.1 不等式直接轉(zhuǎn)化問(wèn)題

轉(zhuǎn)化問(wèn)題可謂是化歸思想里的核心問(wèn)題，是將待解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易解決的問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中，需要利用一些基本的定義、定理以及熟悉公式或者圖形描述，使得問(wèn)題一目了然，得到快速解決。

例1，（2008年江蘇數(shù)學(xué)試卷）設(shè)，，均為正實(shí)數(shù)，證明：≥。

解題思路：利用高中數(shù)學(xué)里熟悉的不等式公式，將例一的證明直接轉(zhuǎn)化，即注意到，，均為正實(shí)數(shù)，可以得到≥，于是≥，倘若能證明≥，那么問(wèn)題得證，現(xiàn)有不等式≥成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即原問(wèn)題得證。

當(dāng)然，也有些數(shù)學(xué)題是直接利用表1的關(guān)系來(lái)命題的，例如，已知0≤≤6，為實(shí)數(shù)，不等式恒成立，試求的取值范圍。

2.2 換元法問(wèn)題

換元法也是化歸思想里的一種常見(jiàn)的方法，它是將一些過(guò)于復(fù)雜的不等式或者方程、函數(shù)等化歸為比較直觀而又簡(jiǎn)單的問(wèn)題。在我們高中數(shù)學(xué)中，基本都是局部換元，即將一些式子視為一個(gè)整體，并用某個(gè)變量去替換，從本質(zhì)上來(lái)講，這是一種等量化歸思想，即構(gòu)造元或者設(shè)置元使得我們求解的復(fù)雜問(wèn)題逐步簡(jiǎn)化。

例2，（2008年浙江數(shù)學(xué)試卷）若，求（）。

（A） （B）2 （C） （D）-2

解題思路：現(xiàn)令，，由可得，而由知，故，聯(lián)立兩個(gè)等式得，求得，所以，，因此，答案選（B）。

2.3 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)里，數(shù)與形密不可分，兩者相互轉(zhuǎn)化，相互滲透，數(shù)缺少了圖形輔助則便少了主觀性，形缺少了數(shù)則難以描述，由此可見(jiàn)，作為高中數(shù)學(xué)里最基本的研究對(duì)象，數(shù)與形體現(xiàn)了兩者在高中數(shù)學(xué)里最重要的一面，即幾何與代數(shù)的結(jié)合，而從思想方法來(lái)看，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化也更加直接地體現(xiàn)了化歸思想。當(dāng)然，只要我們善于觀察數(shù)與形之間的關(guān)系，并將其具體應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題中去，那么，我們相信在今后的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，準(zhǔn)確而快速的解題方式將大受歡迎。

例3，已知恒等式，試求的最小值。

解題思路：將關(guān)于數(shù)的問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為形的問(wèn)題，即把原問(wèn)題看作是在求點(diǎn)到點(diǎn)之間的最短距離，也就是求點(diǎn)到直線距離中最短的距離，由我們熟悉的點(diǎn)到直線距離公式便可求得。

值得說(shuō)明的是，在問(wèn)題處理上，巧妙地進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，使得代數(shù)問(wèn)題更加直觀地化歸為平面幾何問(wèn)題，這樣做的好處在于它能避開求最值時(shí)所要考慮的條件滿足問(wèn)題。

2.4 多維向低維轉(zhuǎn)化的問(wèn)題

多維向低維的轉(zhuǎn)化，在高中數(shù)學(xué)里最為常見(jiàn)的就是空間幾何問(wèn)題，如物體的運(yùn)動(dòng)軌跡、空間截圖等，可以說(shuō)是將三維空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，并在二維平面基礎(chǔ)上，應(yīng)用現(xiàn)有的公式、定義、定理等，最終把待求解問(wèn)題逐一簡(jiǎn)化，使我們解題更容易。

例4，如圖2所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知，且，現(xiàn)有一物體從點(diǎn)出發(fā)，沿著長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的表面運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，試求物體在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最短路程？

解題思路：將上述長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1視為一個(gè)正六面體的盒子，并將其最右邊平面與最后邊平面展開，分別得到如圖3和圖4的俯視圖，由高中數(shù)學(xué)知識(shí)里的平面幾何中兩點(diǎn)之間直線段最短原理，即可求出該物體運(yùn)動(dòng)的最短路程必是、、這三者之一。

通常，求解最值問(wèn)題基本都是轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，但是，該題是空間幾何運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，且題中并沒(méi)有告訴已知的函數(shù)，故轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式行不通。然而，平面幾何求最值的方法很多，如兩點(diǎn)距離最短原理等，因此，通過(guò)化歸思想將問(wèn)題化歸為二維平面問(wèn)題，可使求解問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單。

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，化歸思想在高中數(shù)學(xué)中非常重要，它能幫助我們快速地、準(zhǔn)確地將一些復(fù)雜的、抽象的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單易懂的問(wèn)題。我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，要善于運(yùn)用化歸思想，這樣我們的數(shù)學(xué)思維能力才會(huì)得到鍛煉和拓展，同時(shí)，數(shù)學(xué)問(wèn)題也能得到解決。

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