巧用韋恩圖拓展熱點奧數題及計算機仿真

孫足霞+蔡麗錦

【摘 要】本文運用韋恩圖簡明地解析網上最近流行的一道錯了5年的奧數題（題目本身沒有問題，給出的答案有問題）。同時，我們對此問題進行了拓展， 韋恩圖的直觀性得到了進一步的彰顯，我們的答案也得到了計算機仿真結果的支持。

【關鍵詞】羅弋事件；韋恩圖；計算機仿真

0 引言

羅弋事件：2016年暑假期間，成都高新區西芯小學一名9歲男孩羅弋通過聯系生活實際，推翻了一道奧數題所謂的正確答案。而在求證的過程中，家長發現這道題不僅考倒了電子科大、同濟大學等高校的數學高材生，更是作為兩屆奧賽的考題出現，其錯誤答案被出版社沿用5年無人察覺。

1 奧數原題

150盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制，按順序編號為1，2，3，…，150.將編號為3的倍數的燈的拉線各拉一下；再將編號為5的倍數的燈的拉線各拉一下，拉完后亮著的燈數為______盞。

圖1

圖1編號為1-150的數字中，3、5的倍數韋恩圖。左側的圓圈代表3的倍數，右側的圓圈代表5的倍數，公共部分代表既是3的倍數又5的倍數。

我們不妨來分析一下，這道題適用對象為小學三年級學生，可見難度不高，網上傳言一些電子科大、同濟大學等高校的數學高材生被考倒，我個人認為有些夸大其辭，如果以上是事實，只能說明他們沒有引起足夠的重視，不能說明試題本身有難度。我在網上閱讀了一些小學課本，發現有些省份的小學教材出現了韋恩圖[1-4]，例如，教科版三年級上作業本上出現了韋恩圖匯編。我們將該題用韋恩圖畫出，如圖1所示，答案顯而易見150-40-20=90。理由很簡單，左側的40盞燈泡和右側的20盞燈泡被各拉一次，因而熄滅。公共部分的10盞燈泡因為被拉兩次，不受影響正常發光。翻譯成小學生熟悉的數學語言為：

150-（150÷3-150÷3÷5）-（150÷5-150÷3÷5）=90

2 原題拓展

150盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制，按順序編號為1，2，3，…，150.先將編號為2的倍數的燈的拉線各拉一下；再將編號為3的倍數的燈的拉線各拉一下；最后將編號為5的倍數的燈的拉線各拉一下，拉完后亮著的燈數為______盞。

圖2

圖2 編號為1-150的數字中，2、3、 5的倍數韋恩圖。上側的圓圈代表2的倍數，左側的圓圈代表3的倍數，右側的圓圈代表5的倍數，上圓與左圓的公共部分代表既是2的倍數又3的倍數；上圓與右圓的公共部分代表既是2的倍數又5的倍數；左圓與右圓的公共部分代表既是3的倍數又5的倍數；三圓的公共部分代表2、3、 5的公倍數。

這道題雖然只增加了一遍拉線，但是難度對于小學生來說，卻增加了幾倍。如果采用常規方法列式計算，很容易搞混，兩遍拉線有些人就迷糊了，三遍拉線可能就無所適從了。上面的韋恩圖給我們提供了新思路，我們將該題用韋恩圖畫出，如圖2所示，答案顯而易見150-40-20-10-5=75。理由很簡單，上側的40盞、左側的20盞、右側的10盞、三圓的公共部分5盞分別被拉1、1、1、3次，因而熄滅，上圓與左圓的公共部分20盞、上圓與右圓的公共部分10盞、左圓與右圓的公共部分5盞（不含三圓的公共部分5盞）、因為被各拉兩次，不受影響正常發光。翻譯成小學生熟悉的數學語言比較繁瑣，有興趣的讀者可以根據圖2自行寫出。

3 計算機仿真

上述結論是否正確有待檢驗，我們給出了這道題的計算機仿真程序[5]和運算結果。計算機仿真結果證實了我們的答案。

附：仿真程序（C++ Program）

#include

#include

#include

#include

#define N 150

void main（）

{

int i， num；

int Light[N]；

for（i=0；i

for（i=0；i

{

if（（i+1）%2==0） Light[i]=（Light[i]+1）%2；

if（（i+1）%3==0） Light[i]=（Light[i]+1）%2；

if（（i+1）%5==0） Light[i]=（Light[i]+1）%2；

}

num=0；

for（i=0；i

{

if（Light[i]==1） num++；

}

cout<<"亮著的燈泡盞數一共為： "<

ofstream file1（"d：＼＼light.txt"，0x04，0）；

file1<<"亮著的燈泡盞數一共為： "<

cout<<"它們的編號依次為："；

file1<<"它們的編號依次為："；

file1.close（）；

for（i=0；i

{

if（Light[i]==1）

{

cout<

ofstream file1（"d：＼＼light.txt"，0x04，0）；

file1<

file1.close（）；

}

}

}

運行結果如下：

亮著的燈泡盞數一共為：75

它們的編號依次為：1；6；7；10；11；12；13；15；17；18；19；20；23；24；29；31； 36；37；40；41；42；43；45；47；48；49；50；53；54；59；61；66；67；70；71；72；73；75；77；78；79；80；83；84；89；91；96；97；100；101；102；103；105；107；108；109；110；113；114；119；121；126；127；130；131；132；133；135；137；138；139；140；143；144；149；

4 結束語

羅弋事件帶給我們太多的啟示：成人在解此題時都會用到公倍數，羅弋沒有學過，只能用常識去解答，結果得到了正確的答案。成人受經驗的支配對此類問題形成了思維定勢，沒有深究。可見數學起源生活，服務于生活。在課堂教學中，教者應當理論聯系實際，架起數學通往生活的橋梁[6]，這樣學生一定會熱愛數學、親近數學，自覺運用數學手段解決日常生活問題。那么，在他們的眼里，數學將是一門實實在在的學科，不再是枯燥乏味的數字游戲。這樣，學生學起來自然感到親切、真實，這也有利于培養學生用數學眼光來審視周圍事物的興趣。知識不能永遠禁錮在分數、課本里，只有當知識走出了課本、走出了試卷，它才會展現出真正的價值。

【參考文獻】

[1]程進文.解決集合問題的利器——韋恩圖與數軸[J].新高考：高一數學，2015（9）：36-37.

[2]高明生.利用韋恩圖巧解集合問題[J].第二課堂（高中版），2006（10）：25-26.

[3]高慧明.“韋恩圖”在集合運算中的妙用[J].數學通訊， 2004（9）：54-55.

[4]辜純健.韋恩圖在概率計算中的應用[J].湖南生態科學學報，2004，10（4）：369-371.

[5]譚浩強.C程序設計[M].四版.北京：清華大學出版社，2012.

[6]王英.架起數學與生活的橋梁[J].小學科學：教師版，2013（1）：76-76.

[責任編輯：田吉捷]