信息環境下高中數學研究性學習實踐

龔衛東

[摘 要]信息技術與數學教學的整合以及高中數學研究性學習的實踐都遇到了瓶頸，缺少切實有效能夠深入實際的具體做法。通過相關校本課程實踐，研究高中數學研究性學習的課程目標、學習組織、學習手段、學習內容和學習評價，并研究與之對應的學習模式，對提升數學教學質量和學生的數學思維能力、數學綜合素養具有積極的意義。

[關鍵詞]信息技術；高中數學；研究性學習

一、研究背景

早在2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》，就已經提倡實現信息技術與課程內容的有機整合，注意把算法融入到數學課程的各個相關部分[1] 。在國際上，信息技術在數學教育中的應用一直是國際數學教育委員會（ICMI）關注的主題[2]。信息技術已對高中數學課程的內容、教學方式、教學與學習理念等產生了深刻的影響。

近年來，信息技術應用于高中數學研究性學習的研究蓬勃開展，但具有數學特色的探究性學習研究深度不夠[3]。以數學問題為核心、應用信息技術探究的學習案例較少。

信息技術與數學教學整合的研究現狀呈現出“三多三少”：一是研究信息技術用于數學探究的多，形成研究性學習課程的少；二是信息技術與小學初中數學結合的多，與高中數學內容結合的少；三是信息技術展現數學內容可視化的研究多，而利用信息技術探究數學問題的少。概括起來就是，對信息環境下的高中數學研究性學習課程的研究不足，也缺少有效的學習模式。

二、信息環境下研究性學習的課程與模式

為解決上述問題，有必要開展利用信息技術的高中數學研究性學習行動研究，建立適合高中教學現狀的研究性學習課程，開展教學實踐。在相關校本課程開設過程中，產生一批利用信息技術、師生合作探究、解決數學學習問題的研究案例，形成校本教材，更重要的是形成有效的學習模式。

1.研究性學習的課程

一是課程目標。以提升學生數學思維的批判性、靈活性、深刻性，完善數學學習策略，提高教師問題探究能力和教學水平，提升學生的綜合素養為目標。

二是學習組織。學生根據學校研究性學習選課的統一安排，自愿選擇參加課程學習，與教師一起組成學習共同體。每周1課時集中上課，課后分小組自主合作探究。

三是學習手段。借助計算機軟件開展數學問題探究。根據高中數學國家課程的內容設置和學生實際，選定系統計算器、幾何畫板、Excel軟件、VB語言等作為探究工具，既滿足探究數學問題之需要，又簡單易學。

四是學習內容。包括高中數學學習中遇到的不易理解、不易看清結論但又適合使用信息技術探究真相的數學問題；利用軟件可以方便解決的實際應用問題，如數學建模、數學運算、數據分析等。

五是學習評價。通過小組案例展示評價學習的效果。對照研究性學習課程實施前后的數學成績，評價研究性學習的影響。利用調查問卷，評價學生數學學習策略和思維能力的變化。

2.研究性學習的模式

圖1是信息環境下的研究性學習的共同體模式結構示意圖。信息技術工具在師生學習共同體運轉的各個環節發揮如下作用：利用信息工具的展示與表征功能發現問題與轉化問題，在共同體中明確界定問題，確定研究方向；利用信息工具的計算與作圖等功能，探究問題的實質和結論；利用信息工具展示探究成果。其中，信息技術工具承擔著交流、評價、評估的作用。

師生學習共同體中既包括人——學生和教師，也包括物——信息技術工具，還包括信息——數學問題[4]。在此基礎上，形成了共同體的數學學習能力，其中包括以邏輯推理為核心的學生思維能力，以發現問題、引導探究為特點的教師教學能力，進而上升為共同的數學文化和創新意識。這樣的共同體不斷面對新知識的學習和新問題的探究，使數學學習能力不斷提高。

三、信息技術在研究性數學教學中的應用與作用

早期信息技術與數學教學的整合實踐，大多是利用動態幾何軟件的作圖功能，通過直觀展示以便于學生理解。而事實上，Excel除了用于日常辦公，還具有強大的運算能力和數據處理功能；VB語言可讓學生利用其編程實現課本中算法案例的思想，或解決某些數學問題；幾何畫板，也可以更多地應用于探究數學問題。學習共同體中的師生應熟練使用這些工具。下面以幾何畫板的使用為例說明信息技術的具體應用。

1.辨明真偽，確定方向

有些數學問題過于抽象，難以預判結果，使學生感到無從下手，這種情況下，就可利用幾何畫板作出函數圖像，通過觀察，猜想結論，確定解決問題的方向。如下面的例子。

【例1】 設函數f（x）=aexlnx+■，曲線在點（1，f（1））處的切線方程為y=e（x-1）+2。

（1）求a，b； （2）證明：f（x）>1

【探究】其中問題（1）很容易可求得a=1，b=2。但在（2）中，證明不等式的常用方法是作差，構造函數g（x）=f（x）-1，證明該函數的最小值大于0。但由于該函數解析式中既含指數式，又含對數式，使常用思路難以通行。因此可將不等式exlnx+■>1變形為xlnx>xe-x-■，使指數式和對數式分處于不等式兩邊，用幾何畫板分別畫出h1（x）=xlnx和h2（x）=xe-x-■的圖像（見圖2），就會發現：左邊函數的最小值有可能大于右邊函數的最大值，這樣就可以選定突破口，利用導數分別求得h1（x）在x=■處取得的最小值為“-■”，h2（x）在x=1處取得最大值“-■”，雖然不等式左邊的函數最小值與不等式右邊的函數最大值相同，但取得相同最值的x值不同，即兩個函數曲線沒有重合點，因此不等式成立，使問題得到解決。

此方法并非不等式證明的通法，解題者一般不會奢望有這么好的事實，而用軟件畫出函數圖像后，使學生預先看到了“結果”，啟發了思路，這種證明法就順理成章了。

2.由此及彼，由表及里

有時候，對一個數學問題的條件適當變化，對結論進行推廣，會得到一系列相關問題。對這些問題形成的“題組”集中探究，有利于透徹理解問題的實質，抓住條件與結論的關系，站在高處俯視問題。