基于馬爾可夫方法的違約傳染平均域模型

劉久彪

摘 要 基于平均域模型，將信用組合分為幾個同質的子組合，假設組合中各公司的違約強度不僅取決于宏觀經濟狀況，而且依賴于這些子組合中違約公司的數目，以刻畫不同公司間的違約相互作用;并據此建模組合違約過程為連續時間馬爾可夫鏈，借助Kolmogorov微分方程求解信用組合損失分布;最后，通過實例計算分析傳染現象對組合損失分布、風險量度的影響.

關鍵詞 金融管理學;信用組合;馬爾可夫方法;違約傳染;平均域模型

中圖分類號 F830文獻標識碼 A

Abstract The credit portfolio was divided into several homogeneous sub-portfolio by mean-field model，and the companys default intensity was assumed to depend on macroeconomic conditions and the number of defaulted companies in the sub-portfolio in order to characterize the interaction among different companies.Then，the portfolio default process was modeled as a continuous-time Markov chain，and credit portfolio loss distribution was solved by Kolmogorov differential equation.Finally，we analyzed the influence of default contagion on the portfolio loss distribution and risk measure by the examples.

Key words financial management;credit portfolio;markovian approach;default contagion;mean-field model

1 引 言

自2008年美國次債危機發生以來，全球一直經受著大型金融機構和公司的不良操作所帶來的負面影響，也突顯出了了解和研究違約相關性及其影響的重要性.違約相關性是指多個金融機構或公司之間違約形勢相互影響的關系，目前主要的銀行業標準模型（如KMV、CreditMetrics等）都將其歸結為不同公司的信用狀況均受共同的宏觀經濟因素（如GDP增長率、股票指數）影響[1];但J.Driessen（2005）、J.Hatchett（2006）和A.Herbertsson（2011）研究顯示，和歷史數據相比，此類模型產生的違約相關性水平偏低，且無法解釋“一些公司易于集中在某段時間內發生違約”的經驗事實[2-4].

K.Giesecke（2004）、H.Helen（2007）研究顯示，違約相關還存在另一種表現形式，當多個公司間存在關聯關系（如商業上直接聯系的借貸關系、貿易伙伴;信息效應的間接影響等）時，少數公司的信用危機會以傳染的形式蔓延到它的關聯公司，造成其違約概率增加，甚至發生違約，稱之為違約傳染[5-6].K.Giesecke（2006）指出，一個理想的信用組合風險模型應既能體現不同公司受共同的宏觀經濟因素影響造成的周期性違約相關，又能捕捉關聯公司間的違約傳染，從而產生符合實際大小的違約相關性[7].

基于平均域模型，將信用組合分為幾個同質的子組合，假設各公司的違約強度不僅取決于宏觀經濟狀況，且依賴于這些子組合中違約公司的數目，以刻畫不同公司間的違約相互作用，據此建模組合違約過程為連續時間馬爾可夫鏈，借助Kolmogorov微分方程求解信用組合損失分布，并通過實例計算分析傳染現象對組合損失分布、風險量度的影響.

2 平均域違約傳染模型建立

平均域模型原用于描述大量微觀粒子系統中每個粒子與其它粒子以相同方式的相互作用，HFlmer（1994）創造性的將其應用于刻畫多個“同質”公司的相互影響，盡管這種“同質”假設十分嚴格，但仍對大型違約傳染組合損失建模具有十分重要的借鑒意義，如果所研究信用組合中各公司具有相同的信用等級、或者屬于同一行業（如：能源行業等），那么可認為其產生現金流、增加資產的能力是“同質”的[8].

3 違約傳染模型求解的馬爾可夫方法

上面將信用組合劃分為幾個“同質”子組合，并假設組合內各公司違約強度為宏觀經濟狀態和組合中違約公司所占比例的函數，即平均域違約傳染模型.下面將證明違約強度滿足上面假設的信用組合，在宏觀經濟過程確定條件下，各子組合違約公司數目分布的向量過程為非時齊次馬爾可夫鏈，并推導組合損失的概率分布函數.

4 實例研究

上面針對資產數目較多、關聯關系較復雜的信用組合，建立了平均域違約傳染模型，使違約狀態轉移概率Kolmogorov微分方程對此類組合依然能夠保持計算的易于處理性.下面將應用平均域違約傳染模型對實例進行具體求解，并分析違約傳染現象對信用組合損失分布、尤其是一致性風險量度的影響.

實例：某商業銀行一個由30筆中小企業貸款組成的信用組合，其債務人分屬3個信用等級，據此將該組合劃分為子組合1、2、3，假設各子組合均為“同質”組合.考察各債務公司的資產負債表，發現其在財務、經營方面存在聯系，因而存在潛在的相互違約傳染，整理組合基本信用數據列表如表1.

在計算過程中發現，對于由30筆貸款組成的信用組合，若直接考慮每兩個公司間的相互作用，則組合違約狀態空間維度為230，其對應的狀態轉移概率Kolmogorov微分方程幾乎是不可能求解的;而借助相同等級資產的“同質”假設，將組合劃分為幾個子組合，基于平均域模型建模各子組合公司違約強度為整個組合違約公司比例的函數，則組合違約狀態空間的維度減小為15×15×3=675，保證了Kolmogorov微分方程的易于處理性，可利用其方便的求出其各違約狀態的發生概率，并進而求出組合風險的VaR和一致性量度ES.

從表2可發現，考慮違約傳染現象得出了更大的組合風險量度VaR和ES，而不考慮違約傳染現象則會顯著地低估風險.這是因為，傳染現象會對生存公司的違約強度產生一個正的反饋影響，并由此增大宏觀經濟因素隨機波動引起的組合違約公司數目的波動性，使信用組合損失的尾部分布變“厚”，進而增加其聯合違約概率、組合風險量度VaR和ES，這可從圖1、2中清楚看出.

從圖1可見，相比于不考慮違約傳染，考慮傳染得出的信用組合損失分布兩端變厚，即組合極端大損失和小損失的概率都明顯增加.這是因為：當信用組合中出現新的違約、即組合違約比例增加時，違約傳染現象對未違約公司的違約強度產生一個正的反饋影響，使其違約強度發生一個正向跳躍，并由此增大了宏觀經濟因素隨機波動引起的組合違約公司數目的波動性，使傳染組合損失的尾部分布變“厚”，即聯合違約概率增加.這說明違約傳染本質上是一種違約相關，其會“壓扁”組合的損失分布，使其組合損失尾部變厚，這一點在組合損失尾部概率密度分布中顯示得尤為明顯.

圖2清楚地顯示出，考慮違約傳染情況下得出的組合損失頻率大于不考慮違約傳染情況下得出的結果，說明違約傳染使得組合損失分布的“厚尾”現象加劇;也說明當組合資產間存在彼此關聯時，不考慮違約傳染可能會低估風險，特別是應用一致性風險量度ES度量組合風險時.

需要說明，由于平均域違約傳染模型按公司信用等級或所屬行業將整個組合劃分為幾個子組合，并假設同屬一個子組合各公司具有相同的信用特征，若子組合中存在少數資產違約暴露較大、支配其余多數資產的情況，則需要將這些資產剔出并單獨組成子組合;否則，子組合的異質性將造成對信用組合尾部風險的低估，得出的組合VaR、ES會小于實際值.

5 結 論

從以上分析和實例計算，可以得出如下結論

（1）在簡化模型下，綜合考慮周期性違約和傳染違約兩種相關結構，建立信用組合中各公司違約強度相互作用的違約傳染模型，可以通過求解Kolmogorov微分方程得到精度較高的信用組合損失分布;

（2）借助平均域模型，將信用組合劃分為幾個“同質”子組合，考慮各子組合之間的相互作用大大減小了組合違約狀態空間的維度，保證了Kolmogorov微分方程對于資產數目較大的組合也能求解;

（3）當組合中資產存在違約傳染現象時，新的違約會通過傳染形式對未違約公司的違約強度產生一個正的反饋影響，使其違約強度發生一個正向跳躍，由此增大了宏觀經濟因素隨機波動引起的組合違約公司數目的波動性，使傳染組合損失的尾部分布變“厚”，并進而增加其聯合違約概率、組合風險VaR和ES.

參考文獻

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