整體思維在混合運算教學中的應用
——由一道經典問題解答引發的思考

郭成法

（壽寧縣大同小學，福建 壽寧 355500）

整體思維在混合運算教學中的應用
——由一道經典問題解答引發的思考

郭成法

（壽寧縣大同小學，福建 壽寧 355500）

整體思維是把要解決的問題看作一個整體，從整體的角度去思考問題的一種思維方式。分析學生解決經典問題的思維，不難看出學生整體思維的缺失，解決問題思維局限于局部，跳不出框架的限制。文章試從整體思維在混合運算教學中的應用，談談培養學生整體思維能力：整體觀察，巧運算；巧判斷；巧綜合；巧添號；巧算24。

整體思維；混合運算；巧運算

案例：甲、乙兩人同時從相距100千米的兩地相對出發，甲帶的一只狗也同時出發，狗以每小時10千米的速度向乙奔去，遇到乙后立即返回，再向甲奔去，遇到甲后又奔向乙，……就這樣，狗不停地來回奔跑于甲、乙之間，直到甲、乙相遇，狗才停歇。如果甲每小時行6千米。乙每小時行4千米，請問：這只狗一共跑了多少千米？

這是一道經典的行程中的相遇問題［1］，常被教師們引用做思維訓練題，且被津津樂道。據說我國著名數學家華羅庚小時候也曾做過這道題，自小就凸顯其與眾不同的抓住本質思考問題的整體思維能力。

筆者所在學校每學年都有組織數學競賽，擬題時總喜歡把這道題作為壓軸題，試試有多少學生能透過情節的糾纏，抓住問題的本質，脫穎而出。縱觀每屆五年級參賽學生的解答情況，大多數學生的思維都指向于考慮狗每次遇到乙或甲時所奔跑的距離，糾纏于這樣的細節上，使得問題變得繁難復雜而陷入思維的困境，無法走出思維的死胡同，自然就做錯了。可喜的是，還有小部分學生能跳出這個思維的框架，從整體考慮狗所行的時間就是甲、乙相遇的時間，從而使復雜的問題簡單化，輕松獲解，讓人嘆服。先求得狗一共跑了100÷（6+4）=10（小時），再求狗一共行了 10×10=100（千米）。

這種從整體上考慮問題中數量關系的方法，擺脫了糾纏于局部細節的制約，跳出局部，從整體出發，眼界開闊，思路拓寬，有利于洞察問題中整體與局部的關系，這便是整體思維法，它是一種重要的數學思想方法。從學生的失誤看，他們缺失的正是這種整體思維的方法。整體思維的缺失會導致審題不清，計算失誤等不良的解題現象。因此，從思維的全面性來看，加強學生整體思維能力的培養是非常必要的，其關鍵在于教師要做個有心人，把整體思維能力的培養落實到課堂教學中，有計劃、有目的地加以實施。文章試從整體思維能力在混合運算教學中的應用，談談筆者培養學生整體思維能力的一些做法。

計算教學是培養學生整體觀察能力的有效載體［2］，尤其是混合運算教學中的習題，可謂比比皆是，下面列舉數例分析之：

一、整體觀察，巧運算

例1：用遞等式計算。

1.200-200÷20×5；

2.3.75-1.5-1.5-0.75；

3.830×25+750×83。

這是三步混合運算式題，教學時先要引導學生從整體觀察算式的結構，這道題含有幾種運算符號，數與數之間有什么關系，能不能簡便運算，運用什么原理簡算；不能簡便運算的要先算什么，再算什么？其中哪一步可以口算，哪一步要筆算？這樣先從整體上把握算法，避免了學生看一步算一步，顧此失彼的現象發生。以第3題830×25+750×83為例，整體觀察算式可知，這是屬于兩積之和的計算題，符合乘法分配律的結構特點，雖然原式沒有出現共同乘數，仔細觀察不難發現，第一個乘法算式的乘數830是第二個乘法算式的乘數83的10倍。有了這個倍數關系，就可以利用等積變數的原理，制造出共同乘數83或830，再運用乘法分配律達到簡算之目的。有了這樣的整體觀察分析，思路明確，為簡便計算打開了綠色通道，避免了此題按順序計算的繁雜思路。根據能應用乘法分配律簡便算的算式特點，先對原式進行變形，調整出共同乘數83或830，即原式=83×250+750×83=83×（250+750）=83000或原式=830×25+75×830=830×（25+75）=83000。一道看似不能簡算的題，運用整體思維，分析其數與數的關系，達到了巧算之目的。

二、整體觀察，巧判斷

例2：不計算，哪道算式的結果是最大的。

甲：600-84÷（28×3）

乙：600-84÷28×3

丙：（600-84÷28）×3

例3：不計算，哪道題的○里應填“＜”。

甲：37×14-37×12○37×（14-12）

乙：89-120÷（60-30）○89-120÷60-30

丙：300÷（5×4）+21○300÷5×（4+21）

以上兩組題均要求不計算，直接根據算式進行判斷，目的是培養學生的推理能力與數感。這樣的練習其實是培養學生整體思維的有效載體，因為需要引導學生從整體觀察算式，才能進行分析判斷。如例2，不計算，哪道算式的結果是最大的，觀察3道題，每道題的四個數、運算符號減、除、乘也一樣，不一樣的只是運算順序。整體觀察比較分析可知：甲、乙兩題都是用600減去一個數的差，而丙題，是用600減去一個數的差再乘3，顯而易見結果是最大的。再如例3，不計算，哪道題的○里應填“＜”。整體觀察，甲算式是運用乘法分配律簡算，結果相等；乙算式左邊的被減數89減去的減數比右邊的被減數89減去的減數要小，結果大；丙算式左邊的被除數300除以的除數比右邊被除數300除以的除數大，結果小，所以丙算式的○里應填“＜”。教學時，可以采用先整體觀察算式，引導學生猜想結果，并說出猜想的依據，再通過計算驗證猜想結果。這樣的教學，不僅培養學生的整體觀察能力，同時還培養了學生的估算能力與猜想驗證能力。

三、整體觀察，巧綜合

例4：把下面每組的算式合并成一個綜合算式。

78÷39=2 25×2=50 500÷50=10

30-10=20 3×20=60 1200+60=1260

把分步式改寫成綜合式，需要從整體觀察三個算式，先確定從哪個算式入手，哪個數用算式換，哪里要添括號。以第1題為例，觀察三個算式，應從算式500÷50=10入手分析，其中除數50是由25×2得來的，把除數50換成25×2，算式25×2中的2又是由算式78÷39得來的，把數2換成算式78÷39，這樣把數換成算式后是500÷25×78÷39；接著再從整體觀察運算順序，根據分步式，78÷39處要添上小括號，25×78÷39處要添上中括號，于是，一道綜合算式500÷[25×（78÷39）]就完成了。

四、整體觀察，巧添號

例5：在○里填上運算符號，使等式成立。

8○8○8○8○8=1 8○8○8○8○8=2 8○8○8○8○8=3 8○8○8○8○8=4 8○8○8○8○8=5

這道填運算符號的問題，如果不從整體分析，而是一個一個去嘗試的話，比較費時，也不是本組題的教學意圖。先整體觀察，每道題都是5個8，中間要添上4個運算符號或括號，結果分別等于1、2、3、4、5。以第1小題為例，要使結果等于1，從最后往回想，因為8÷8=1，所以把余下的3個8結果變成0。這樣從整體的視角來分析判斷，就能比較快地找到解題的思路，從而有效達成目標：（8-8）×8+8÷8=1。其他各題的思路，以此類推。

五、整體觀察，巧算24

例6：算24。

給出4個數，每個數只能用1次，添上運算符號，使結果為24。如，給出4個3：3、3、3、3算24。從整體分析判斷，由最后一個3往回想，24=27-3，把前面3個3的結果組成27，而3個3的積正好是27，于是問題得以解決：3×3×3-3=24。

總之，以上列舉的都是混合運算單元教學的內容，這些習題承載著培養學生整體思維能力的功能。這些功能不是自然而然就能得以發揮的，而是需要一線教師要有整體思維的理念和培養意識，教學時，才能自覺挖掘習題背后承載著培養學生整體思維能力的功效并加以實施。正如蘇霍姆林斯基所說的，“不會閱讀的孩子是潛在的差生”，［3］不會整體思維的學生，也是潛在的思維差生。

［1］徐文彬.數學“解決問題的策略”的理解、設計與教學［J］.課程·教材·教法，2009（1）.

［2］鄭毓信，多元表征理論與概念教學［J］.小學數學教育，2011（2-4）.

［3］〔蘇〕蘇霍姆林斯基.給教師的建議［M］.北京：教育科學出版社，2004.

陳志華）