不等式在高中數學解題中的應用總結

江蘇省興化中學高二(17)班(225700) 沈晨航 ●

不等式在高中數學解題中的應用總結

江蘇省興化中學高二(17)班(225700) 沈晨航 ●

例如求函數的定義域、值域，求函數的最大值、最小值、極大值、極小值以及判定函數的單調性和有界性，討論方程根的問題等等．在解題過程中，利用不等式求解出未知量的關系，然后針對這些關系進行討論，最后得出未知量的值或者范圍．

不等式;最值;實際問題;應用

不等式是高中數學中一個非常有用的工具，可以解決好多問題．在進行解題時，我們首先要根據題目所給信息列出不等式，在解出不等式之后進行控制變量、分類討論，最后求解．下面是我對不等式在解題中應用的總結．

一、利用不等式求解最值

在運用基本不等式的時候一定要熟記“一正、二定、三相等”的條件，在實際中的解題技巧主要是:“拆項”、“添項”、“配湊因式”．

例1 已知a＞0，b＞0，a+b=1，求y=(a+1/a)(b +1/b)的最小值．

在閱讀這道題的時候，看到“a+b=1”的條件我就首先想到了利用均值不等式a+b＞=2(a+b)1/2進行求解，得出ab≤1/4．

原式=(a+1/a)(b+1/b)=(a2+1)/a·(b2+1)/b =［(ab－1)2+1］/ab(中間步驟省略)．

最終得出:(ab－1)2+1≥25/16．如此，我就利用了不等式求得了該表達式的最小值．同時需要強調一點，使用均值不等式時一定要注意兩個等號成立條件是否相同，如果兩次條件不相同，則取不到最值．

例2 已知正數x，y滿足x+2y=1，求1/x+1/y的最小值．

分析 在此題中，我們靈活運用“1”的代換．在利用不等式進行解題的過程中，常常將不等式“乘以1”、“除以1”或者是將不等式中的某一個常數用等于1的表達式進行代替．在本題中，可以將分子中的1用x+2y來代替，或者是將式子1/x+1/y乘以x+2y．同時需要強調一點，直接利用均值不等式來求解是錯誤的，因為此時無法滿足取等條件．

二、利用不等式求解實際問題

在很多數學實際應用題中，因為題目中有很多未知量以及限制條件，有的時候從不等式的角度來考慮進行求解是比較方便快捷的．

例1 (1)在面積為定值的扇形中，當半徑是多少時，扇形的周長最小?

(2)在周長為定值的扇形中，當半徑是多少時，此時扇形的面積最大?

解析 設扇形中心角為α，半徑為r，面積為S，弧長為l，則S=(lr)/2=(αr2)/2，其中l=rα．

(1)此時S為定值，則α=2S/(r2)．所以扇形的周長p=2r+l=2r+rα=2r+2S/r≥4S(1/2)．當r=S1/2時，等號成立．所以當半徑是S1/2時扇形周長最小．

例2 如圖所示，設矩形ABCD(AB＞AD)的周長為24，把矩形沿著AC折起來，AB折過去之后，交DC于點P．設AB=x，求三角形ADP的最大面積以及相應的x值．

分析 題目中要求求三角形ADP的最大面積，首先我們要寫出三角形ADP的面積表達式．因為AD=12－x，關鍵在于要把DP用x表達出來．從圖中可以看出，DP= PB'，AP=x－DP，因此可以在三角形ADP運用勾股定理，列出等式，可以將DP用x表達出來．

例3 水產養殖戶李大爺準備進行大閘蟹和河蝦的混合養殖，他了解到了以下情況:1．每畝地水面年租費用為500元．2．每畝水面可在年初進行混合投放，可投放4公斤大閘蟹苗和20公斤蝦苗．3．每公斤蟹苗的價格是75元，其飼養費用是525元，當年可獲得1400元收益．4．每公斤蝦苗的價格為15元，其飼養費用是85元，當年可獲得160元收益．問:(1)水產養殖的成本包括水面年租金、苗種費用和飼養費用，求每畝水面蝦蟹混合養殖的年利潤(利潤=收益－成本);(2)李大爺現有資金25000元，他準備在向銀行貸款，但不得超過25000元，用于蝦蟹混合養殖．一直銀行貸款年利率為10%，試問李大爺應租多少畝水面，并向銀行貸款多少元，可使得年利潤達到36600元?

解析 第(1)問略．(2)設租a畝水面，向銀行貸款4900a－25000元，收益為8800a，成本=4900a≤25000+ 25000，解得約為a≤10．20畝．這時進行驗證，利潤 = 3900a－490a+2500=36600，3410a=34100，因此李大爺要租10畝水面．

三、柯西不等式在解題中的應用

柯西不等式常用的有:(1)證明不等式;(2)求函數最值;(3)求解方程組．

其中利用柯西不等式來證明其它的恒等式，主要是要利用柯西不等式的取等條件來解題，或者是利用它進行從兩邊夾、逼進行證明．利用柯西不等式來解方程組(無理方程)，首先把含有無理式的方程利用柯西不等式來化成不等式，然后再根據原有的方程把它化成等式．在判斷等號成立條件之后，從而得到和原方程組同解、但比原方程組的無理方程要簡單的整式方程，進而進行求解．

從上面的例題可以看出，不等式在高中數學中的應用很廣泛，同時也在數學競賽中頻頻出現．因此，我們要熟練掌握用不等式進行解題的方法，培養自己能夠靈活轉化的能力，從而在數學的學習中取得比較優異的成果．

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