基于認知結構遷移理論下的一道課本習題的教學

山西省長治學院附屬太行中學(046011) 郭永芳 ●

基于認知結構遷移理論下的一道課本習題的教學

山西省長治學院附屬太行中學(046011) 郭永芳 ●

根據奧蘇貝爾的有意義學習理論，學生原有的認知結構中可利用的知識經驗越多，越有利于學習的遷移．在一道解析幾何習題的教學中，筆者想通過改變教材呈現的方式，改進學生的原有認知結構，進而達到促進學習遷移的目的，即學生對曲線方程求解方法的進一步學習和掌握．

認知結構;遷移;曲線方程

在現行的人教A版教材選修《數學2—1》的第37頁有一道課后練習:如圖，已知點C的坐標是(2，2)，過點C的直線CA與x軸交于點A，過點C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點B．設點M是線段AB的中點，求點M的軌跡方程．

這道題出現在求曲線方程這一節(jié)中，課本兩個例題的目的都是要求學生逐步掌握求曲線方程的一般步驟:建立直角坐標系——設點的坐標——寫動點滿足的等量關系——列出式子——化簡式子——證明(可省略)．用這樣的方法步驟可求解的曲線方程是有局限性的，即并不是所有的曲線方程都可以用這種方法求．事實上，求曲線方程的方法還有另外幾種，但是課本中并沒有涉及，但在課后命制了這么一道練習題，我便以這道題為載體，讓學生在原有認知結構的基礎上，通過這道題的教學，學習和掌握曲線方程的其他求法，以達到學習的遷移．

課堂上在講授這道題的時候，我先讓學生讀題，并讓他們思考如下問題:

1．這道題已知什么，要求的是什么?

2．點M滿足的幾何等量關系是什么呢?

3．觀察圖形，你還能發(fā)現哪些幾何關系呢?

4．點M的坐標與點A，B的坐標有什么關系?

5．如何求解這道題，你有哪些方法?

學生原有的知識是求曲線方程的一般步驟，還有平面幾何中直角三角形知識．經過思考，學生回答如下:

1．已知點C的坐標，CA⊥CB，M是AB的中點，求點M的軌跡方程．

2．因為CA⊥CB，所以△CAB是直角三角形，M是斜邊AB中點，可得

∴∣CM∣=∣OM∣．

4．設M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)．

∵ M是AB中點，則因為學生剛學過課本上講的求解曲線方程的一般步驟，他們首先想用一般方法解這個題目，所以自然而然地就這樣回答第5個問題．

5．解:設點M(x，y)，A(2x，0)，B(0，2y)．

∵∣CM∣=∣AB∣，∴化簡得x+y－2=0．

∴點M的軌跡方程是x+y－2=0．

在老師提供的問題3的提示下，有一個學生立刻想到第二種解法:

解法2 設點M(x，y)．∵AB是兩個直角三角形△CAB和△AOB的公共斜邊，M是AB中點，∴∣CM∣=∣OM∣．∴化簡得x+y－2=0．

我給學生總結:這兩種方法都是利用點M滿足的幾何關系列方程，然后化簡得出曲線方程，這種方法我們叫做直接法．

學生原有的認知除了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，還有的同學想到勾股定理，于是又有學生指出第三種解法:

解法3 ∵C(2，2)，A(a，0)，B(0，b)，△CAB是直角三角形，∴∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2，

∴a2+b2=(a－2)2+(b－2)2化簡得a+b=4(*)．

由問題4得a=2x，y=2b，代入*式，得x+y－2=0．

此解法先得到a，b滿足的關系式，然后找到a與x，b與y的關系，再代入而得方程，這也是求曲線方程的一種方法，叫代入法，也叫相關點法．

重新讀題目，再看已知條件:過點C的直線CA與x軸交于點A，過點C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點B．也就是說點A是CA與x軸的交點，點B是CB與y軸的交點，那能不能求出直線CA，CB的方程，再求點A，B的坐標，從而得點M的坐標．于是第四種解法是:

解法4 設AC的斜率為k．

(1)當k不存在時，A(2，0)，B(0，2)，M(1，1)．

(2)當k存在時，直線CA的方程是:y－2=k(x－2)．

(1)中點M的坐標也適合方程x+y－2=0．

此解法是把M點的橫、縱坐標都用同一個參數k表示出來，然后消去參數后得x，y的關系即為點M的軌跡方程，叫參數法．

學生原有認知是:會求直線的方程，上述解法學生是可以接受的．可能是老師的解法刺激了某些學生，他們的積極性被調動起來，紛紛尋找本題的其他解法．其中有一個學生這樣求解:

解法5 ∵∠O+∠C=180°，∴A，C，O，B四點共圓．

∵∠ACB=90°，∴AB是圓的直徑．

∵ M是AB中點，∴M是圓心．

設M(a，b)，則圓M方程是(x－a)2+(y－b)2=r2．將O(0，0)，C(2，2)代入圓的方程，消去r得a+b－2=0．

即點M的軌跡方程是x+y－2=0．

這種解法抓住了本題的又一個幾何特征，在學生原有認知判斷四點共圓的方法和圓的方程的基礎上順利得解本題，也不失為一種好方法．

美國心理學家奧蘇貝爾認為，原有的認知結構對于新的學習始終是一個最關鍵的因素．他說:“我們應當根據學生原有的知識狀況去教學”．至此，我們用了5種方法解本題，每種方法都是建立在學生原有認知結構的基礎上進行的，運用已有的知識經驗和作出結論，學生就可以將新知識和新信息融入進去，而且學生原有的認知結構中可利用的知識經驗越多，越有利于學習的遷移．

［1］鐘毅平，葉茂林．認知心理學高級教程［M］．合肥:安徽人民出版社，2010

［2］羅增儒．中學數學課例分析［M］．西安:陜西師大出版社，2003．

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