例談HPM視角下的初中數學教學設計

張玉萍

[摘 要] HPM是基于歷史相似性原理和建構主義理論對數學史進行研究，以期提升數學教學質量. 本文在研究相關理論的基礎上，結合實例介紹了HPM視角下初中數學教學設計的具體操作.

[關鍵詞] HPM；數學史；理論基礎；教學設計

HPM是“History and Pedagogy of Mathematics”的簡稱，這是一個誕生于20世紀七十年代的學術領域，其研究目標是研究數學史，提升數學教育的質量. HPM所研究的問題包括：數學史的課程設立；數學史的內容關聯；數學史與數學教學的關系；數學史對教師的影響；數學史在文化滲透中的作用和地位等. 由此可見，HPM的價值受到越來越多的關注，其在教學實踐中的運用也日益受到重視.

HPM的理論基礎

（一）歷史相似性原理

英國學者斯賓塞指出，個體知識的形成與人類知識的演變歷程是統一的，歷史上知識的創生過程就是今天教育的方向. 這一段論述就是講個體的數學認識要遵循數學歷史的發展過程，該觀點獲得克萊因、龐加萊、卡托斯等數學家的支持. 他們主張學生的認識過程與數學的發展歷程有著嚴格的相似性，指出數學史能幫助學生解決數學學習的難題，這就是歷史相似性原理.

從初中數學教學的角度來講，歷史相似性原理給我們提出這樣的指導：一方面，幫我們預測并解釋學生可能出現的學習困難；另一方面是對教學設計給予建設性的意見. 當依據歷史相似性來設計教學時，教師必須意識到學生當前的認知背景與以前的數學家大相徑庭，因此我們不能全盤照搬數學史中的知識建構過程，而應該結合教學需要對歷史資料進行重構.

（二）建構主義理論

建構主義認為，學生在數學、邏輯或物理等方面的認知過程都屬于持續建構的產物，并且要在認知過程中經歷同化和順應等一系列作用，進而實現新的認知平衡. 所有的數學學習都可以結合結構的建構來實施，建構主義學習理論給傳統的數學教學理念造成沖擊，也為HPM理論在數學教學中的運用提供了支撐.

建構主義理論指導的數學學習過程不應該是被動吸納接受學習的過程，而應該是學生結合已有認知和經驗的積累主動進行建構的過程. 西方研究者在對HPM研究時發現，該理論對數學教學有著重要的推動作用. J·M·Keiser就在教學實驗中發現學生理解“角度”的概念和前人發明相關概念的過程是一致的，因此歷史上前人探索“角度”概念的有關困難也將為現今的教材編寫和教學設計提供指導. 學生數學的學習過程是一個持續建構的過程，數學史會將數學家探索數學規律、建立理論的過程呈現出來，因此，教師在教學中將相關史料滲透到數學教學中，能夠幫助學生認清概念、定理、公式等知識的形成和演變過程，進而理解數學知識的來龍去脈，這有助于他們通過對比新、舊知識的聯系來獲取對新知識更加深刻的認識.

HPM視角下的教學設計案例

結合對HPM理論的研究，筆者對初中數學課堂積極展開實踐，下面，筆者以“負數”的教學為例，談談自己的教學操作.

（一）創設情境，引入新課

教師引導學生回顧小學階段已經接觸過的數的類型：類似于0，1，2，3，，這些我們現在生活中常見的數字，都是隨著人們認識的進步和需要才出現的. 在古代，人們依次經歷實物計數、結繩計數、算籌計數等階段，但是因為使用不便，于是發明1，2，3…這樣的數字；為了表示“沒有”或“空的”，就發明了“0”；因為計算和測量中出現的數字并非整數，因此發明了分數. 由此可見，數字的產生和改進都是源于人們生活、生產中的需要. 今天，我們一起再來認識一下一種更加神奇的數字——負數.

設計思路 教師圍繞學生已經學習過的數字，引導他們簡單回顧數字的發展歷程，有助于學生在舊知識的基礎上建構新認識.

（二）探索研究，形成概念

1. 引出負數的產生緣由

教師提供問題引導學生探究負數的產生：3個小孩要平均分配4個蘋果，應該怎么分配？

初中生完成上述問題沒有絲毫難度，教師關鍵是引導學生循著以下思路進行思考：3個小孩平均分配4個蘋果，能不能讓每個人所得的蘋果數是整數？請列方程求解.

學生求解：設每個小孩可分得x個蘋果，則根據題意有3x=4，解得x=.

結合求解過程，學生發現每個小孩最終所得的蘋果數目并非整數，因為從方程求解來看，它不存在整數解，因此為了讓方程由無解變為有解，人們對數系進行了擴充，引入了分數的使用. 這樣的做法使得任何兩個非零整數的除法都存在解，除法運算也因此更加暢通.

設計思路 引導學生重新體驗分數的產生緣由，以此為學生接受負數的概念奠定基礎.

教師安排學生繼續處理下面兩個問題：

（1）張濤帶來10元錢，準備去超市買一個足球，到那兒之后發現足球的標價是18元/個，請問張濤還剩多少錢？

（2）小李今天掙了200元，各項支出一共230元，請問小李今天凈收入多少錢？

學生很快寫出兩個式子：（1）10-18；（2）200-230. 寫完之后，他們都無法繼續下去，教師便啟發他們交流彼此的困難. 學生指出：被減數比減數還要小，數字不夠減，如果還用小學的知識，這樣的問題是無解的，是錯誤的. 教師這時便鼓勵學生，人的視野不應該被陳舊的知識所束縛，可以仿照分數的出現，發明一種新的數字——負數，由此，學生便會認識到負數的意義：引入負數之后，任意大小的數字都能隨意相減，數系再一次被擴充.

設計意圖 結合具體的問題，創設情境讓學生感受到囿于原有認知的困境，進而產生擴充數系的需要，負數的概念由此引入便水到渠成，學生的認知上沒有任何違和感.

2. 負數的表示

教師提供問題，引導學生學習負數的表示方法.

問題：今年初春，哈爾濱的平均氣溫為零下5℃，北京的平均氣溫是2℃，上海的平均氣溫為5℃. 請問上海的平均氣溫比北京的氣溫高多少？上海的氣溫比哈爾濱的氣溫高多少？

學生用減法來處理上述問題：上海氣溫-北京氣溫=5-2=3（℃）；上海氣溫-哈爾濱氣溫=5-5=0（℃）. 問題來了，哈爾濱和上海的氣溫相差為0，莫非兩地溫度一樣？這肯定是錯誤的，那問題出在哪里呢？教師讓學生進行討論，他們在討論中很快發現問題的所在，兩個5℃的含義不同，必須進行區分. 那怎么辦呢？此時學生對負數的表示產生了心理需求.

設計思路 教師以問題為引導，在問題處理中醞釀沖突，由此激起學生對負數表示方法的學習需求，強化了他們的學習動機.

為滿足學生的需求，教師開始講解：數學上一般將大于0的數字定義為正數，而將小于0（零以下）的數字定義為負數，在其前方添加一個負號“-”以示區別，例如正數“1”變成負數就是“-1”，當然有時候為了強調正數，也在正數前方加一個“+”號.

設計思路 教師對歷史上負數的發現過程進行重構，以不露痕跡的方式融入教學，讓學生在看似隨意的過程中體驗負數的建構.

教師進一步補充：運用“+”“-”來區分正負數是屬于近代數學的表示方法，據史料記載，早在1700多年前，我國魏晉時代的數學家劉徽就提出了正負數的表示方法：“今兩算得失相反，要令正負以名之. ”這就是說，為了對計算出來相反意義的數字進行區分，可以用正數與負數的方式進行表述. 當時，他是以算籌的顏色表征正負的：“正算赤，負算黑”，即正數用紅色算籌表征，負數則用黑色算籌進行表征.

設計思路 介紹中國古代負數的表示方式，讓學生感受前人的智慧，由此激活學生的求知欲.

（三）例題講解，活化認知

教師提供例題：某天的天氣預報顯示，與今天相比，上海明天的氣溫會增加2℃；北京明天的氣溫會下降1℃；天津今明兩天的溫度沒有變化. 請寫出上海、北京、天津三地明天的氣溫會上升多少.

學生結合本課所學進行解答：上海、北京和天津三地氣溫分別上升2℃、-1℃、0℃.

設計思路 教師設計問題，引導學生運用所學解決問題，在知識遷移的過程中加深認識.

（四）課堂小結，作業布置

教師引導學生進行課堂小結，本課所學內容包括：（1）負數提出的緣由；（2）負數的概念及其表示，隨后布置課后鞏固練習.