都是“無形”惹的禍

何建文

[摘 要] 圖形的存在對學生解決問題大有幫助，但也往往限制了學生的思維，一道“無形”習題的大面積錯誤反映了存在的問題和不足，暴露了平常教學的缺陷，對話解題過程，層層分析，發現背后是學生各種能力的缺失和數學思想方法的缺乏，反思以改進教學，慎畫幾何圖形，以培養學生嚴謹科學的態度.

[關鍵詞] 幾何圖形；習慣思維；科學態度；數學思想

錯誤反映了存在的問題和不足，分析錯誤，反思，有利于改進教學. 一道平行四邊形習題大面積的錯誤，兩個班級都只有少數學生做出完整、正確的解答，如此高的出錯率讓原本平常的習題顯得非比尋常，不僅是班級里一些優秀生出現錯誤，甚至個別老師也在不經意間出現錯誤. 課后對話學生，再現解題過程，了解答題情況，才發現學生是在不經意間自然發生了錯誤，根本就沒有察覺；在沒有對話的班級重新解答還是出現同樣的錯誤. 為什么會有這樣的錯誤？都是“無形”惹的禍，為此，引起了筆者的思考.

試題呈現 （2013·杭州拱墅區一模）在面積為12的平行四邊形ABCD中，過點A作直線BC的垂線，垂足為點E，過點A作直線CD的垂線，垂足為點F，若AB=4，BC=6，則CE+CF的值為______.

參考解答 因為題目沒有給出可用的圖形，只有具體數據，所以先畫圖.

情形1：如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，交BC邊于點E，過點A作AF⊥DC，交DC的延長線于點F. 由平行四邊形的面積為12，AB=4，BC=6，得AE=2，AF=3. 在Rt△ABE中，

學生的典型錯誤

因為缺乏直觀性，因此基礎差的學生無從下手，能解答的學生則先畫圖.

典型錯誤1 如圖3所示，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC于點E，過點A作AF⊥DC于點F，由平行四邊形ABCD的面積為12和AB=4，BC=6，得

典型錯誤2 畫圖，作平行四邊形ABCD，如圖4所示，過點A作AE⊥BC，

與學生對話，還原解題過程

師：題目中的條件都理解了嗎？你能整合嗎？有沒有需要特別留意的細節？

生1：基本上都理解了，就是平行四邊形，已知面積和兩邊長，求兩條線段的和，好像沒有需要特別留意的地方.

師：通過審題，理解題意，獲得信息后，你想到了哪些與平行四邊形有關的知識？

生2：想到了平行四邊形的性質，兩組對邊分別相等，兩組對邊分別平行，平行四邊形的面積計算公式，面積等于底乘高.

師：還想到了哪些知識和方法？

生3：勾股定理，平行四邊形高線的畫法，類似三角形高線畫法.

師：你是否想到與解題有關的數學思想方法？

生4：我根本沒想到什么數學思想方法，看完題目我就無從下手.

生5：我想到了數形結合思想，要解本題，首先應該畫圖.

師：是否聯想到鈍角三角形中高線的畫法？

生5：沒有，只是感覺平行四邊形的高與一般銳角三角形的高線相似，根本就沒聯想到鈍角三角形高線的畫法.

師：是否考慮過題目中的數值對具體圖形形狀的影響？也就是說，圖形可能因數值而具有一些特殊的性質，如角的度數等.

生6：沒有想到. 一直以來題目中的數值，只是用來參與計算的，只會對最終的結果有影響，從來沒有碰到會對題目所涉及的圖形有影響，進而影響題目的答案.

師：對具體數值的大小，你都有具體、直觀的印象和感受嗎？能感知、把握它的相對大小嗎？

生7：老師，這與解答本題有關系嗎？數值就是個值，還要感知、把握相對大小？

（對于這個問題，學生一臉茫然，基本都不理解，認為這與解答本題根本就沒有關系）

師：平常在輔助解題的畫圖中是否都有固定的傾向和習慣？如標頂點字母的順序都是固定不變的，角的位置、度數的大小等都是通常的方向、一般正常的大小，很少做其他的嘗試，也不會根據具體的題目考慮具體的圖形？

生8：平時作圖習慣一般都是固定的，標字母都基本是同一個方向，如順時針，很少會有變化；角度一般也都是“中規中矩”，不會過大也不會過小，角的位置一般都是平的，不會有傾斜，除非題目中有明顯的要求和提示.

生9：我平常解題畫圖中，標字母一般都是從圖形的左下角開始，按逆時針的方向，這次正好歪打正著，∠A標在銳角的位置（如圖4），因此得到一個正確答案，對了一半.

師：解題進程中是否隨著解題的進度而隨時調整解題的思路和方向，并隨著解題進程邊反思邊調整，而不是一成不變？

生10：解題平常都是開始解答前思考，想出來之后，就開始解答，而不會邊解答邊反思、調整思路，基本上都是不會變的.

師：通過以上對話，你覺得自己的解答錯誤在哪里？

生11：審題沒有注意細節，圖形可能還有其他的情形，再說解答的那種情形，圖形中垂足的位置也不對，應該在平行四邊形的外面，我根本就沒注意3與4的大小關系.

學生似乎慢慢認識到了自己的錯誤.

錯誤原因分析

這是一題難度并不是很大的習題，主要考查平行四邊形的性質、平行四邊形面積計算方法、勾股定理、作圖能力、數形結合思想、分類討論思想等知識方法，所涉及的計算量并不復雜，對作圖能力的考查也不是很難，為什么會有如此高的錯誤率？是“無心”？是知識掌握有缺陷？還是平常的教學存在問題所致？下面從教與學的角度進行分析.

1. 審題不細，理解不透

學生出現的錯誤首先是非知識性的，審題不清，沒有注意細節，題目中“過點A作直線BC的垂線，垂足為點E，過點A作直線CD的垂線，垂足為點F”，很多學生都沒注意“直線”這個細節，于是出現在作圖中只有平行四邊形的邊，而邊只是線段，這就決定了垂足的位置“理所當然”在線段上，這種情況也是平常在教學和練習中出現最多的情形. 而本題，至少有一個垂足在線段的延長線上，即“直線”上，因為第一步沒有審清，學生開始滑向錯誤的“深淵”. 如果學生能注意“直線”這一細節，明確過點A作直線CD的垂線，就是過點A作對邊CD所在直線的垂線，那么垂足就有可能不在線段CD上，而在線段CD的延長線（或反向延長線）上，從而能避免出現錯誤.

2. 受習慣思維的影響

已有的知識經驗都會影響人們對事物的思維方式，習慣是一種因循式的思維形式. 與四邊形知識緊密聯系的是三角形的有關知識，對題中凸顯的過平行四邊形的頂點A作直線BC的垂線，學生受已有一般銳角三角形高線畫法的習慣思維影響（如圖5），而畫出如圖3所示的圖形，使得垂足點F在線段CD上，而對于需要突破習慣思維的鈍角三角形BC邊上高線的畫法（如圖6），則根本聯想不到，從而自然得出CF=CD-DF，導致錯誤，此其一. 其二，很多學生包括一些教師在輔助解題畫圖時，標識字母的順序受習慣思維的影響，都基本一成不變，如四邊形或平行四邊形都基本從圖形的左上角開始，按逆時針方向來標識（如圖7），很少有變動，如果能稍作改變或作多種嘗試，如在本題中，把字母A標識在左下角，就能作出如圖4所示的圖形，也不會出現錯誤，就像那個唯一碰巧做對的學生那樣，也能得到一個正確答案. 另外，如果能不受習慣思維的影響，作圖時把角度做多種嘗試，銳角、鈍角都試試，圖形橫畫、豎畫或稍微傾斜，也不會出現這樣的錯誤. 正是受習慣思維的影響，促成了這樣的錯誤.

3. 數學思想方法的缺乏

數學思想方法是數學的本質，是解決問題的核心. 一部分基礎弱的學生拿到問題就無從入手，這是缺乏幾何直觀性的表現，同時也暴露出數形結合思想的缺乏. 如果頭腦里有數形結合思想，就自然會畫圖，開始問題的解決. 另外，畫出一種情形的圖形后，如果有分類討論的思想，就會嘗試去畫不同形狀的平行四邊形，比如那位碰巧答對一半的學生，如果能按∠A是銳角、∠A是鈍角進行分類討論，或許能解答正確，不會遺漏另一種情況，出現失誤.

4. 數感及調控能力的缺失

數感是人對于數及其運算的一般理解和感受，將實際問題與數聯系起來，形成數物對應的思想，數感就是主動地、自覺地感知數、理解數的意識. 在學生的解題過程中，當畫出如圖3所示的圖形時，沒有意識到AE=2，AB=4，直角邊恰好是斜邊的一半，因此Rt△ABE中AE邊所對的角∠B應是30°，而圖3中，∠B則遠遠大于30°，這正是缺少數感的體現. 解題繼續進行，當求得CF=CD-DF=4-3時，如果學生具有良好的數感，能感知、把握數的相對大小，DF=3已經大于邊CD的長，求得的CF=4-3已經是個負數，也不會出現這樣的錯誤. 另外，由于學生解題調控能力的缺失，而沒有及時發現問題，當學生求得DF=3，沒有發現DF大于CD，就不會想到“過點A作直線CD的垂線，垂足為點F”，點F的位置已經不在線段CD上，而應在DC的延長線上，才在所畫錯誤的垂線基礎上繼續解答，最終導致錯誤.

教學思考與建議

縱觀整個解題過程，這樣的錯誤并非朝夕形成，很多單元測試和一些重要的考試，學生感覺良好，但結果往往出乎意料，很多都是源于這樣“無形”的錯誤. 如何避免這樣的錯誤？教學需要從點滴做起.

1. 加強審題訓練. 在理解題意基礎上捕捉問題細節，進行信息的提取和整合，把握關鍵字、詞所蘊含的信息，如“直線”包含“線段所在直線”的含義，同時把一些抽象的、看不見的、隱含的條件轉化為具體的、形象的、直觀條件，如有必要，可以借助圖表、模型等直觀表示出來，以全面理解問題.

2. 注重培養思維靈活性. 在問題的解決過程中，不從固定的角度、方位去思考，使自己的思維形成習慣，落入俗套. 對于形象的畫圖，要經常嘗試從正面、側面、順時針、逆時針、上下、左右等相反方向進行探討，對不確定的角，特殊的等腰、直角三角形要從各種類型進行考慮，是否具有多種可能性，讓學生放開眼界，認識全面，這樣就會突破習慣思維.

3. 加強思想方法滲透. 數學思想是對數學知識和方法的本質認識，是數學的精髓，它是策略性的知識，對解決問題起著關鍵的指導作用. 應用數形結合思想不僅使問題變得更加簡單自然，還能培養學生嚴謹的思維，更加直觀地理解問題. 而應用分類討論思想，則能夠讓學生考慮問題更加全面，思維更廣、更深刻，從而使問題解決更有實效.

在幾何教學中，我們常利用幾何圖形啟發、引導學生分析幾何圖形的特點，從而建立幾何概念，理解幾何定理，并應用它們解決相關問題. 畫出幾何圖形在幾何教學中起著重要的作用，此題的關鍵是給出的圖形決定了其結果的正確性. 慎畫幾何圖形，能培養學生養成良好的數學學習習慣和嚴謹的科學態度，這也是數學教師的一項基本功！