微積分學的初等化問題分析

西北工業大學附屬中學(710072) 李子研 ●

微積分學的初等化問題分析

西北工業大學附屬中學(710072) 李子研 ●

微積分作為高中數學中的組成內容，如何從新的視角對其初等化進行研究，是值得我們要探索的一個重要課題．本文基于函數和導數，利用不等式來對微積分基本定理進行驗證．

微積分;初等化;導函數;新視角

微積分在數學發展史上有著非常久遠的歷史，從正式作為數學學科分支之一開始到現在，其誕生了許多定理與公式．近幾年，有關微積分的初等化研究逐漸吸引人們注意，利用數學中的初等內容對微積分進行研究成為一個嶄新的研究點．

一、定積分的初等定義及微積分初等化研究的新視角

(1)定積分的初等定義

關于定積分的定義，跳出極限概念范疇，從數學初等內容對定積分定義進行理解，相較起來，初等定義要比極限定義更加簡單明了，這也是微積分初等化研究所具有價值的一個體現．對定積分進行初等化定義，假設f(x)在某一區間上有定義，若有一個二元函數，它同時滿足非負性與可加性條件，則可以稱該二元函數f(x)是在這一區間上的一個積分系統．若積分系統唯一，則任意子區間端點值所對應的二元函數解，即為f(x)在這一子區間上的定積分，通常記作在上面的定義中，完全沒有用到極限的概念，定義表述簡單易懂，對于高中學生來說，要相對容易掌握，這樣對于微積分知識的學習也變得相對容易些．

(2)微積分初等化研究的新視角

從幾何意義上對數學中的定積分進行理解不難發現，一個定義在［a，b］上的函數f(x)在某一區間［m，n］上的積分，其實就是該函數與x軸和直線x=m、x=n之間圍起來所得到的區域面積．根據這一特性分析，假設將［a，x］所圍曲邊梯形面積記為F(x)，并將其折合成同等大小的矩形，那么矩形的高就在該區間內某兩點p、q所對應函數值之間，進而有不等式()f q．該不等式的成立為微積分初等化的研究提供了全新的視角，使人們可以嘗試通過不等式來對微積分相關問題進行研究，降低微積分學習難度．

二、微積分的初等化研究方法

(1)分析不同意義下的導數基本性質

在高等數學中，導數分為一致可導，加強可導等類型，不同類型下的導數所表現出的基本性質不盡相同，而導數具備怎樣的基礎性質，直接關系著微積分初等化的研究效率、研究成果與研究方向．所以我們在對大學高數微積分進行初等化研究時，首先應分析不同意義(即一致可導和加強可導)下的導數基本性質．

對一致可導函數，通過命題假設和借助相關定義、定理分析其基本性質，得到一致可導函數的導數具有唯一性;所得到的導數若符號不變，則表明原函數單調;若導數為強可導，則也一致可導;兩個原函數的導數相等則兩者之間僅相差一個常數;一致可導函數的導數具有一致連續性和第一單調性．對加強可導函數分析其導數基本性質得到，其導數具有唯一性，第一單調性;導數符號不變則原函數單調，導數相等的原函數之間僅差一常數．

(2)微積分基本定理推導驗證

微積分基本定理是我們學習微積分所必須掌握的一個重要定理，掌握該定理是我們解決微積分相關問題的必要條件之一．根據上文分析所了解到的導數基本性質，從初等角度對微積分基本定理進行推導驗證，一方面降低微積分基本定理的理解與學習難度，一方面幫助我們對其較為容易的理解和掌握，并為微積分的初等化研究提供資料與參考．假設A是區間［a，b］上包含常數函數的一些函數的集合，其內的每個函數f與該區間內的兩個數m、n構成集合J={f，m，n}．若J到實數集R的映射S(f，m，n)滿足一定條件(多個條件之間并不相互獨立，可能由其中幾個條件推導出另外的條件)，則可稱實數S是函數f在［m，n］上的定積分，幾何意義就是圍成的曲邊梯形面積．JF={S，H，J}則為該區間上的一個積分空間．假設JF ={S，H，J}，是區間［a，b］上的一個積分空間，函數f在該積分空間內，則f為強連續函數，并有F(x)=S(f，a，x)=經證明，F為一致可導函數，且其導數與f相等成立．

利用上述兩定義，對微積分基本定理進行推導和驗證．設JF={S，H，J}是區間［a，b］上的一個積分空間，強連續函數f在這一積分空間內，在這一條件下，若區間內有一可導函數F，其導數與強連續函數f相等，則有F(b)這是通常的、習慣的定積分寫法．用本文所描述定義的形式對這一式子進行表示就是F(b)－F(a)=S(f，a，b)，該式即為微積分基本定理．根據上面假設，對微積分基本定理進行證明．假設P(x)=S(f，a，x)，由上得P的導數等于f，而P與F之間相差一個常數，所以上面假設所得出的微積分基本定理是成立的．在這一推導證明過程中，并沒有用到極限概念，只運用了導數基本性質與強連續函數的定義，不僅推導過程得到了一定簡化，而且結果可以得到較好的驗證．由此可見，微積分的初等化具有巨大研究價值．

［1］鄭晨．大學一年級學生利用微積分解決實際問題能力的調查研究［D］．東北師范大學，2010．

［2］宋華．夏鸞翔對微積分的學習與使用——《萬象一原》內容分析［D］．內蒙古師范大學，2013．

［3］張景中．微積分學的初等化［J］．華中師范大學學報(自然科學版)，2006，04:475－484+487．

［4］焦彬橋．高中微積分課程內容選擇的探索［D］．廣西師范大學，2014．

G642

B

1008－0333(2017)03－002－01