基于納米時柵傳感器安裝偏差的測量精度分析研究*

王合文，吳玉梅，鄭方燕，但敏，樊星辰

(重慶理工大學機械檢測技術與裝備教育部工程研究中心，時柵傳感及先進檢測技術重慶市重點實驗室，重慶400054)

基于納米時柵傳感器安裝偏差的測量精度分析研究*

王合文，吳玉梅，鄭方燕*，但敏，樊星辰

(重慶理工大學機械檢測技術與裝備教育部工程研究中心，時柵傳感及先進檢測技術重慶市重點實驗室，重慶400054)

為了解析安裝參數與測量精度的關系，根據納米時柵的基本測量原理，構建出與動、定尺間距d0和正對面積變化量ΔS相關的數學模型。通過理論推導，分析了動尺在yz平面傾斜、xy平面偏轉時會導致兩路駐波幅值不等、相位偏移，從而給測量結果帶來二次誤差。實驗結果表明通過調整動尺在yz平面與xy平面上的安裝，對極內原始誤差由4.86 μm降低至0.84 μm，證明動尺在yz平面傾斜、xy平面偏轉為產生二次誤差的主要原因。在行程200 mm測量范圍內，傳感器誤差峰峰值為400 nm。實驗結果驗證了理論分析的正確性，該分析為傳感器結構參數優化和實驗方法的改進提供了有力的支撐，為進一步提升傳感器精度提供了可靠的理論依據。

納米測量;時柵;安裝;誤差理論

納米技術與生物技術、信息技術并列為21世紀的三大科技，是21世紀高技術競爭的制高點［1］。而納米位移測量技術及器件是納米數控機床、極大規模集成電路專用設備和國防軍工特殊需求等超精密高端裝備的核心技術和關鍵功能部件，是實現納米精度定位與控制的“眼睛”，直接決定和影響著主機的性能［2］。目前，國內外主要研究的是納米光柵技術。其測量原理對制造工藝和加工工藝要求苛刻，在大面積的范圍內對等周期細密柵線很難保證結構的均勻性和一致性制造［3－5］。因此，很難解決大量程與高精度之間的矛盾［6］。針對上述矛盾，作者所在團隊在前期時柵研究的基礎上提出了一種利用交變電場耦合的納米時柵位移傳感器［7－8］。利用時空轉換理論［9－11］將空間位移轉換成時間量測量，利用高頻時鐘脈沖作為計量基準來提高測量精度和分辨率［12］。

安裝參數對傳感器的測量精度有著直接影響，尤其在微納米測量領域，任何微小的安裝偏差都將嚴重影響傳感器的測量精度。因此，研究納米時柵傳感器安裝參數與誤差規律之間的相互關系顯得至關重要。

基于前期課題組對納米時柵傳感器測量理論、電場分布及信號處理方法的研究［7－8］，本文從傳感器的結構與安裝出發，建立與動、定尺間距d0和正對面積變化量ΔS相關的數學模型及安裝模型，通過對模型的理論分析找出了動尺在yz平面傾斜及xy平面偏轉時所引入的誤差諧波成分，并通過實驗得到驗證。本研究對納米時柵傳感器參數優化和實驗方法的改進具有理論指導意義。

1 納米時柵工作原理

納米時柵傳感器由定尺和動尺部分組成，圖1為納米時柵傳感器結構示意圖，上面部分為分布有兩排正弦極片的動尺，下面部分為分布兩排方形極片的定尺。其中，定尺極片分別奇、偶相連并等間隔均勻分布，組成起始位置相差1/2極片寬度的A、B兩相激勵。

圖1 納米時柵傳感器示意圖

將定尺與動尺正對平行放置，形成沿x方向的左、右兩組差動電容，并在奇、偶極片上分別施加大小相等，符號相反的正弦激勵信號和余弦激勵信號。

納米時柵傳感器可看成一個帶負載的兩組差動電容組合，任意一路的等效電路如圖2所示。

圖2 納米時柵等效電路

根據電路的疊加定理，求得輸出為:

式中:Zb1、Zb2分別為輸出Uo后端負載ZL與C1、C2并聯的阻抗，Z1、Z2分別為C1、C2容抗，U+、U_為大小相等，相位相反的激勵信號。

設輸入激勵信號為 Ui=U+－U－，則式(1)可化為:

設在某一靜態位置的時，C1、C2正對面積分別為S1、S2，動、定尺間距為d0，將電容公式C=εS/d和容抗公式Z=1/2πfC含參數帶入式(2)，則單組輸出為:

當電橋平衡時，電容C1、C2正對面積均為S0;動尺移動，電容 C1、C2正對面積分別減小和增大ΔS，此時輸出為:

當傳感器尺寸確定時，從式(4)可以看出輸出Uo與激勵Ui、電容正對面積變化量ΔS和動、定尺間距d0有關。

在兩組定尺上分別施加A相正弦激勵UiA與B相余弦激勵UiB:

其中:ω為激勵信號角頻率，t為時間變量。

利用正弦函數變上下限積分方法［8］得出動尺上兩路駐波信號為:

將耦合的兩路駐波信號Uoa、Uob相加得到行波信號Ux:

為便于后續討論，令

將行波信號Ux與另一路相位固定頻率相同的正弦信號Uy通過整形電路轉換為方波，送入比相電路進行比相，利用高頻時鐘插補技術求得兩路信號的相位差，最后通過FPGA處理即可得到傳感器動尺與定尺之間的相對直線位移量。

2 誤差理論模型

通過實驗研究，現階段對極內誤差主要呈現為二次，因此需要對二次誤差來源進行理論分析。通過分析，產生二次誤差的主要原因為兩路駐波的幅值不等和相位偏移。

2.1 兩路駐波幅值不等

在測量過程中，兩路駐波幅值不等將導致合成的行波失真。假設兩路駐波幅值分別為 K1Am、K2Am，則合成的行波信號表達式為:

根據三角函數公式:

化簡式(10)，可得:

式中:

且當x→0、W/2時x→x'。

從式(12)看出行波信號的幅值會隨著cos(2πx/W)的引入在一個周期內呈現二次變化，在測量結果中也必將引入一個二次誤差，其變化的峰峰值為:

2.2 兩路駐波相位偏移

假設兩路駐波的空間相位并非嚴格相差90°，其分別與標準相位的偏差為φ，則合成的行波信號表達式為:

同理，通過式(11)化簡得:

從式(15)看出測量結果必將由于sin(2πx/W)的引入而在一個周期內產生二次誤差，峰峰值為:

2.3 仿真驗證

通過上述理論分析，當兩路駐波幅值不等、相位偏移時會給測量結果帶來二次誤差。為方便分析，設置ω=1 rad/s。當兩路駐波幅值不等時，K1Am= 15 V、K2Am=22 V，φ=0 rad;兩路駐波相位偏移時，KAm=22 V，φ=π/36 rad。利用MATLAB進行波形仿真，結果如圖3所示。

圖3 MATLAB仿真波形圖

從圖3的仿真波形可以看出，仿真結果與理論公式推導的結果相吻合。

3 安裝誤差分析

從上述的理論分析可以看出，測量結果中出現二次誤差的原因是由于兩路駐波幅值不等或相位偏移。而造成駐波幅值不等或相位偏移的主要原因為動尺安裝上在yz平面傾斜或xy平面偏轉。

3.1 yz平面動尺傾斜

以圖1建立三維坐標動尺相對定尺在yz平面上有傾斜。假設在yz平面上相對于定尺有一個傾斜角α，如圖4所示。

圖4 yz平面動尺傾斜示意圖

圖2中，α為動尺偏轉角度，d0為平行安裝時動、定尺之間間距，L為兩路動尺中心間距，d1=d0－Lsin(α/2)、d2=d0+Lsin(α/2)分別為偏轉后動尺與定尺的等效間距。

在實際測量過程中，動尺如圖4傾斜時動、定尺之間的正對面積S和間距d均會發生變化，為方便討論現將標準安裝等效為兩路動尺分別與定尺平行，虛線框體為標準安裝時的動尺。

由等效模型得A相正弦激勵動尺對應的ΔS'為:

單路駐波信號表達式為:

式中:d0＞Lsin(α/2)。

同理，可得另一路駐波信號表達式為:

即式(10)中:

則yz平面動尺傾斜時的行波表達式為:

故動尺在yz平面傾斜時會導致兩路駐波幅值不等，從而引入二次誤差。

3.2 xy平面動尺偏轉

以圖1建立三維坐標動尺相對定尺在xy平面上有個偏轉。假設在想xy平面上相對于定尺有一個偏轉角θ，如圖5所示。

圖5 xy平面動尺偏轉示意圖

圖5中，l為動尺極片長度，θ為動尺相對于y方向的偏轉角度，Δx為偏轉引起的空間相位偏移量。則有:

當動尺相對于定尺在xy平面偏轉時，其行波表達式為:

通過式(10)、式(19)化簡得:

即動尺在xy平面偏轉時，會導致兩路駐波空間相位偏移從而引入二次誤差。

4 實驗驗證與分析

為驗證理論推導和仿真的正確性，判定二次誤差的影響因子是否與分析一致，故還需要相應的實驗驗證。

4.1 實驗平臺搭建

根據納米時柵傳感器測量原理及結構的要求，搭建相應實驗系統平臺，具體實驗平臺如圖6(a)所示。

圖6 實驗平臺

定尺通過金屬基座固定，動尺通過金屬基座和美國Aerotech公司的ABL2000精密氣浮直線導軌(精度達±0.75 um)相連，通過控制氣浮導軌的移動來實現動、定尺的相對位移變化，通過電子顯微鏡和PI并聯定位系統調節動、定尺之間的安裝情況，利用PI并聯定位系統的上位機軟件讀取并記錄動尺初始安裝參數。利用美國NI公司的LABVIEW產生標準激勵信號UiA和UiB，其幅值為22 V，頻率為20 kHz。用實驗室團隊設計的信號處理系統對動尺感應信號進行后續波形數據處理，并將位移數據送入計算機，從而得到納米時柵的測量值。同時采用英國RENISHAW公司的ML100激光干涉儀(精度為±0.7 ppm)作為測量基準對時柵進行誤差標定，得出誤差曲線。

圖6(b)所示為PCB工藝加工的傳感器，其有效測量范圍為200 mm。定尺為方形極片，動尺為正弦形極片，極片寬度均為0.2 mm，極片與極片之間的間隙均為為0.2 mm，單個測量周期即一個對極的長度為0.8 mm。

4.2 實驗分析

納米時柵的工作原理要求傳感器的安裝保證動、定尺之間的線性度和平行度，同時加載的激勵信號也要有良好的一致性。但在實際測量過程中，這些影響因素往往難以達到理想狀態。下面通過實驗對這些影響因素造成的誤差規律進行驗證分析。通過前面的理論分析，當兩路駐波幅值不等或相位有偏移量在一個周期內都會引入二次誤差。

根據測量原理可知，當動、定尺極片平行時，單路駐波信號幅值最大，并且與另一路駐波信號最大值相等。同時，若動、定尺極片正對平行，當一路駐波幅值最大時，另一路駐波幅值理論為0 mV。

通過PI并聯定位系統的上位機軟件初始化安裝并記錄相關參數:α=0°，θ=0°。

在初始安裝情況下，用氣浮直線平臺控制動尺與定尺在一個周期內反復移動，通過示波器觀察得兩路駐波最大幅值約為126.4 mV、134.7 mV;此時，靜態采集數據與測量基準作差比較后得到的誤差曲線如圖7所示，初始誤差峰峰值約為4.86 μm，主要表現為二次誤差。根據式(19)、式(22)分析可知，二次誤差主要是由于動尺的兩種安裝偏差造成。當動尺在yz平面傾斜時導致兩路極片有效間距不相等，造成兩路駐波幅值不等，從而在最終測量結果中引入二次誤差;當動尺在xy平面與定尺相對有偏轉時導致兩路駐波空間相位偏移，從而也會引入二次誤差。

用氣浮導軌平臺控制動尺與定尺在一個周期內來回移動，通過PI并聯定位系統的上位機軟件反復調整yz平面上動尺的傾斜角度，通過示波器觀察兩路駐波最大幅值。當調整至兩路駐波最大幅值分別為130.8 mV、131.2 mV時，可基本認為其最大幅值相等，動尺與定尺平行。記錄此時α=0.1°。采集所得誤差曲線如圖7所示，誤差峰峰值約為2.43 μm，主要誤差規律為一次和二次誤差。其中一次誤差主要要由單路駐波的幅值信號不相等造成［8］。調整動尺在yz平面的安裝后所采集的誤差與原始誤差相比峰峰減小一半，即說明動尺在yz平面的會給測量結果帶來二次誤差。

通過反復調整動尺在xy平面上的偏轉角度，用示波器觀察兩路駐波信號幅值。觀察得Uoa最大幅值約為129.8 mV，Uob幅值約為0.4 mV;定尺移動半個周期位移時，Uoa的幅值減小至0.5 mV，Uob幅值增大至129.2 mV，記錄θ=0.08°。此時可認為動尺與定尺基本平行正對。采集所得誤差曲線如圖7所示，誤差峰峰值減小至0.84 μm，主要誤差規律呈現為四次［8］，二次誤差已基本消除。

圖7 誤差曲線圖

上述實驗已驗證動尺在yz平面傾斜和xy平面偏轉會給測量結果帶來二次誤差。從時空轉換理論可知，空間域與時間域存在對應關系，即動尺在空間上安裝造成的幅值不等、相位偏移，可通過調節時間域上的激勵來使兩路駐波幅值、相位相等。通過調整LABVIEW 4路激勵信號的幅值和相位，使兩路駐波幅值相等、相位一致，采集到的誤差曲線如圖7所示，峰峰值減小為0.98 μm，并且二次誤差基本消除。

在前面理論分析得到實驗驗證的情況下，在200 mm量程范圍內以采對極點的方式進行測量實驗，最終測得傳感器誤差峰峰值為400 nm，如圖8所示。

圖8 傳感器誤差曲線

5 結論

本文從納米時柵傳感器的基本原理出發，構建出與動、定尺間距d0和正對面積變化量ΔS相關的數學模型。著重分析了由于兩路駐波幅值不等、相位偏移所帶來的誤差成分。通過理論分析及實驗驗證，得出以下結論:①兩路駐波幅值不等、相位偏移會給測量結果引入二次誤差。②動尺安裝在yz平面傾斜導致駐波幅值不等，在xy平面偏轉導致兩路駐波相位偏移。

實驗結果驗證了理論分析的正確性，該理論分析為傳感器結構參數優化和實驗方法的改進提供了有力的支撐，為進一步提升傳感器精度提供了可靠的理論依據。

［1］ 王國彪，黎明，丁玉成，盧秉恒.重大研究計劃“納米制造的基礎研究”綜述［J］.中國科學基金，2010(2):70－77.

［2］ 陳本勇，李達成.納米測量技術的挑戰與機遇［J］.儀器儀表學報，2005，26(5):547－550.

［3］ Eurenius L，Hgglund C，Olsson E，et al.Grating formation by metal-nanoparticle-mediated coupling of light into waveguided modes［J］.Nature Photonics，2008，2(2):360－364.

［4］ 呂恒毅，劉楊，王延東，等.莫爾條紋正交偏差的智能補償方法［J］.儀器儀表學報，2010，31(9):2075－2080.

［5］ Yoshimizu N，Lal A，Pollock C R.MEMS diffrac-tive optical nanoruler technology for tipbased nanofabrica-tion and metrology［J］.Micro Electro Mechanical Sys－terns，2009:547－550.

［6］ 國家自然科學基金委工程與材料科學學部，機械工程學科發展戰略報告(2011－2020)［R］.北京:科學出版社，2010:288－315.

［7］ 劉小康，蒲紅吉，鄭方燕，馮濟琴，于治成.納米時柵位移傳感器電場分布與誤差特性研究［J］.儀器儀表學報，2013，(10): 2257－2264.

［8］ 劉小康，彭凱，王先全，朱革.納米時柵位移傳感器的理論模型與誤差分析［J］.儀器儀表學報，2014，(5):1136－1142.

［9］ Liu X，Peng K，Chen Z，et al.A New Capacitive Displacement Sensor With Nanometer Accuracy and Long Range［J］.IEEE Sensors Journal，2016，16(8):2306－2316.

［10］彭東林，練俊君，陳錫候，等.基于時間序列的時柵轉臺誤差修正研究［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2015，29(1):96－100.

［11］徐君，彭東林，萬文略，等.時柵位移傳感器中利用光電技術產生電行波信號的新方法［J］.傳感技術學報，2007，20(3):532－535.

［12］于治成，鄭方燕，馮濟琴，等.納米時柵傳感器數字信號處理系統設計［J］.傳感技術學報，2013(11):1548－1551.

王合文(1990－)，男，漢族，重慶人，碩士研究生，主要從事現代傳感器技術研究，405788673@qq.com;

吳玉梅(1990－)，女，漢族，河北人，碩士研究生，主要從事現代傳感器技術研究，844044212@qq.com;

鄭方燕(1972－)，女，漢族，四川宣漢人，碩士，副教授，主要從事計算機輔助測試與儀器智能化的研究，發表論文20余篇，獲專利5項，zfy@cqut.edu.cn。

Measurement Precision Analysis Based on Assembly Errors of a Nanometer Time-Grating Sensor*

WANG Hewen，WU Yumei，ZHENG Fangyan*，DAN Min，FAN Xingchen
(Engineering Research Center of Mechanical Testing Technology and Equipment，Ministry of Education，Chongqing Key Laboratory of Time Grating Sensing and Advanced Testing Technology，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China)

In order to quantify the influences on measurement precision caused by assembly parameters，the gap d0and effective overlap area variation ΔS between the fixed ruler and the moving ruler are employed as independent variables to build mathematical models for measurement precision analysis based on the principles of nanometer time-grating sensors.Second harmonics errors are deduced in theory and tranced back in terms of unequal amplitude and phase deviation for two channels of standing waves when the moving ruler is not parallel to yz-plane or deviate from yz-plane.Experiment results show that the original errors for one pitch decrease from 4.86 μm to 0.84 μm by adjusting the assembly parameters of the moving ruler in the yz-plane and xy-plane，which demonstrates that second harmonics error is caused by un-parallel to yz-plane or deviation from yz-plane for moving ruler.The peak-to-peak value of the measurement error is 400 nm within 200 mm measurement range.The proposed theoretical analysis is valid by the experimental results，and provide strong supporting for optimizing the sensor’s structure parameters and improving experimental methods，which is very valuable for improving the measurement precision of nanometer timegrating sensor as reliable theory.

nanometer measurement;time grating;assembly;theory of error;

TH7

A

1004－1699(2017)02－0230－06

C:7230

10.3969/j.issn.1004－1699.2017.02.011

項目來源:重慶市基礎與前沿研究計劃項目(cstc2014jcyjA70002，cstc2016jcyjA0505)

2016－09－21 修改日期:2016－12－09