在深度“對話”中自然建構(gòu)

法國教育家保羅·弗萊雷說過：“沒有對話，就沒有了交流，也就沒有了真正的教育。”古希臘哲學家蘇格拉底更是以“蘇格拉底方法”成為啟發(fā)式教學的先驅(qū)：他在與學生談話的過程中，并不直截了當?shù)馗嬖V學生所應知道的知識，而是通過問答、討論甚至辯論的方式來揭露學生認識中的矛盾，逐步引導學生自己得出正確答案。教學實踐表明，“對話”不僅是一種調(diào)動學生的教學手段，更是一種尊重學生的教育思想；不僅是教師和學生通過語言進行的交流與討論，更是學生之間觀點與想法的碰撞與爭鳴。

數(shù)學教學本質(zhì)上是數(shù)學思維的教學，而思維最直接、最基本的體現(xiàn)就是語言。因此，數(shù)學教學必須通過深度“對話”，在思維的自然建構(gòu)中實現(xiàn)知識的深入理解。下面，以《簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞》一課為例，談?wù)劰P者的實踐與思考。

一、課堂實錄

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

師 請大家欣賞一個偵探故事。A、B、C、D四位小朋友在李大爺家院內(nèi)踢足球。只聽見“啪”的一聲，足球飛向了李大爺家的窗戶，頓時玻璃碎了一地。李大爺趕緊出來問他們：“誰踢壞了玻璃？”小朋友A說：“是B踢的。”小朋友B說：“是A踢的。”小朋友C說：“A沒有說實話且B也沒有說實話。”小朋友D說：“反正不是我踢的。”如果四位小朋友中只有一個人說了實話，那么你能告訴李大爺是誰踢壞了玻璃嗎？

生 答案是C。

師 你能解釋一下嗎？

生 我猜的。

師 有沒有不同答案？

生 答案是D。

師 為什么呢？

生 首先可以排除A和B；如果是C，那么就有C和D兩個人說了實話，與條件不符；而如果是D的話，那么就只有C一個人說了實話。

師 解釋得很明白吧！接下來，請同學們再思考：這個實例中用到了我們以前學過的哪些知識呀？

生 命題、命題真假的判斷。

師 還有我們沒學過的內(nèi)容嗎？

生 “A沒有說實話且B也沒有說實話”和“反正不是我踢的”不是以前學過的命題形式。

師 觀察得很仔細！這些命題中涉及一些邏輯聯(lián)結(jié)詞。我們今天就來研究由這些邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的復雜命題。

（教師板書課題。）

（二）組織學生活動

師 觀察以下三個命題，并回答問題：（同步出示）①6是2的倍數(shù)或6是3的倍數(shù)；②6是2的倍數(shù)且6是3的倍數(shù)；③π不是無理數(shù)。

（教師出示問題1：命題①、②、③是否與某些命題有關(guān)聯(lián)？你能說出這些關(guān)聯(lián)的命題嗎？）

生 命題①是用“或”將命題“6是2的倍數(shù)”與“6是3的倍數(shù)”聯(lián)結(jié)而成的新命題；命題②是用“且”將命題“6是2的倍數(shù)”與“6是3的倍數(shù)”聯(lián)結(jié)而成的新命題；命題③是命題“π是無理數(shù)”的否定。

師 回答得非常好！在邏輯上對一個命題的否定是用哪個字來表示的？哪位同學知道？

生 非。

師 很好！

（教師出示問題2：你還能舉出一些具有上述結(jié)構(gòu)特點的命題嗎？）

生 △ABC是等腰三角形或△ABC是直角三角形。

生 2是偶數(shù)且2是質(zhì)數(shù)。

生 2不是無理數(shù)。

生 3≤5。

師 “3≤5”是用哪個詞聯(lián)結(jié)的呀？

生 是“或”：“3≤5”表示“3<5或3=5”。

生 不對。應該是“且”：3≤5表示“3<5且3=5”。

師 請大家討論一下，你贊同誰的觀點？

生 還應該是“或”。

生 是的。

師 這樣的觀點碰撞很有意義，因為真理愈辯愈明！

（三）建構(gòu)數(shù)學概念

師 你知道這里的“或”“且”“非”在數(shù)學上稱作什么嗎？

生 應該稱為“邏輯詞”。

師 稍微改一下：稱為“邏輯聯(lián)結(jié)詞”。如果用小寫拉丁字母p、q、r表示命題，則以上各命題的構(gòu)成形式分別是“p或q”“p且q”“非r”。（同步板書數(shù)學符號）其中“p或q”可記作“p∨q”，“p且q”可記作“p∧q”，“非r”可記作“r”。

（教師出示問題3：你能從集合運算的角度，分別描述“p∨q”“p∧q”及“r”這三種形式的命題嗎？）

生 “p∨q”對應于并集，“p∧q”對應于交集，“r”對應于補集。

（教師出示問題4：對于邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”，你能用開關(guān)電路圖表示它們的“聯(lián)結(jié)”關(guān)系嗎？一位學生在黑板上依次畫出圖1、圖2、圖3，并指出它們分別與邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”對應。）

（四）建立數(shù)學理論

（教師出示問題5：說出下列命題的形式以及相應的命題p、q。（1）8≥7；（2）2是偶數(shù)且2是11的約數(shù)；（3）π不是整數(shù)。三位學生分別口答。）

師 （追問回答最后一小題的學生）你認為一個命題的否定與這個命題的否命題有區(qū)別嗎？

生 命題的否定只否定命題的結(jié)論；否命題是命題的條件和結(jié)論都否定。

師 請大家注意，他的觀點是正確的。也就是說，原命題是真命題，則它的否定一定是假命題，而否命題真假不確定。

（教師出示問題6：問題5中的幾個命題真假性如何？它們的真假性與命題p、q的真假性有關(guān)系嗎？你能猜想出怎樣的結(jié)論？）

生 8≥7是假命題。

師 有沒有不同意見呢？

生 我認為“8≥7”是真命題，其中命題“p：8>7”是真命題，“q：8=7”是假命題。我猜想“p∨q”形式復合命題是“一真則真”。

師 大家認可誰的觀點？

生 （眾）后者。

師 確實，他說得很有道理，對我們的常識“8≥7”從邏輯的角度給出了合理的解釋；而且猜想了“p∨q”形式復合命題的真假性，總結(jié)的四個字言簡意賅。掌聲祝賀！

生 “2是偶數(shù)且2是11的約數(shù)”是假命題，其中“p：2是偶數(shù)”是真命題，“q：2是11的約數(shù)”是假命題。猜想：“p∧q”形式復合命題是“一假則假”。

師 類比學習，很棒！

生 “π不是整數(shù)”是真命題，其中“r：π是整數(shù)”是假命題。猜想：“r”形式復合命題是“真假相反”。

師 剛才幾位同學猜想的結(jié)論都是正確的。這是我們判斷由邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”構(gòu)成的復合命題的真假性的重要依據(jù)。

（五）展示數(shù)學運用

（教師出示問題7：寫出由下列命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”以及“非p（q）”形式的命題，并判斷它們的真假。（1）p：3是質(zhì)數(shù)，q：3是偶數(shù)；（2）p：5<5，q：5=5；（3）p：方程x2+x-2=0的解是x=-2，q：方程x2+x-2=0的解是x=1。三位學生分別板演。）

師 請看最后一小題的板演。這位同學認為，命題“p或q”應該是“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”，這是一個真命題。你們同意嗎？

生 我不同意。我認為，應該是“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x2+x-2=0的解是x=1”，這是一個假命題。

師 請各位同學發(fā)表不同意見。

（通過激烈爭辯，大家最終都同意后一位學生的觀點。）

（六）學會回顧反思

師 本節(jié)課我們學習了哪些簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞？各自的含義是什么？（學生回答。）

師 如何判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復合命題的真假性？

生 利用復合命題的真值表。

師 在得出含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復合命題真假性的過程中，我們運用了哪些數(shù)學思想方法？

生 由特殊到一般的歸納猜想方法以及類比方法。

師 課后作業(yè)：課本第11頁習題1、2、3。

二、教學評析

本節(jié)課的教學目標主要是了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義，學會利用它們表達相關(guān)的復合命題，并能夠正確判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復合命題的真假性，進一步認識命題之間的邏輯關(guān)系。學生在初中階段已經(jīng)學習了“簡單命題及其關(guān)系”，能夠判斷命題的真假性，這為學習本節(jié)課打下了很好的基礎(chǔ)。但是，含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復合命題的構(gòu)成要素以及真假性辨別還是學生的易錯點，加之語言表達能力要求較高，學習本節(jié)課也是有困難的。基于教材內(nèi)容與學情分析，筆者認為通過設(shè)置高質(zhì)量的問題串，采取師生與生生對話的方式演繹教學過程，才能夠達到預期的教學目標。

（一）對話：基于生活情境，充分發(fā)揮先行組織者的作用

奧蘇伯爾認為，有意義學習發(fā)生和保持的最有效策略就是利用適當?shù)囊龑圆牧蠈Ξ斍八鶎W習的新內(nèi)容加以定向與引導，唯有如此才能確保新舊知識之間建立實質(zhì)性的、非人為的聯(lián)系，把這種引導性材料稱為“先行組織者”。

本節(jié)課中，教師通過一個偵探故事創(chuàng)設(shè)問題情境，既符合學生的認知心理與年齡特點，激發(fā)了學生的好奇心與求知欲，又拉近了現(xiàn)實生活與數(shù)學內(nèi)容的距離，為學習新知識拋錨。

其中“A沒有說實話且B也沒有說實話”以及“反正不是我踢的”等語句不是學生以前學過的命題形式，又剛好涉及邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“非”，可以水到渠成地引出本節(jié)課的課題。

因此，問題情境起到了先行組織者的作用。而基于問題情境的對話讓學生真切地體驗到，知識來源于生活又高于生活，生活中的一切都充滿知識、蘊含知識，從而讓生活走進課堂，將課堂引向生活，使得生活的一切時間和空間都是學習的課堂。

（二）對話：基于問題串，把靜態(tài)的內(nèi)容變成探究性活動

問題是數(shù)學教學的心臟，是引發(fā)學生思維與探究活動的向?qū)АＳ辛藛栴}，學生的好奇心與求知欲才能激發(fā)；有了問題，學生的思維閘門才能開啟；有了問題，學生的探究活動才有載體。同時，“孤立的問題對學生思維的發(fā)展幾乎沒有什么作用，只有讓問題以問題串的形式出現(xiàn)，讓學生進行系列的、連續(xù)的思維活動，學生的思維才能不斷攀升到新的高度”。教師只有通過設(shè)計恰當?shù)膯栴}串，展開師生之間流暢的對話，才能使知識的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學生的認知結(jié)構(gòu)，才能把冰冷的知識轉(zhuǎn)化為火熱的思考，才能把教材中靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為課堂上動態(tài)的活動，讓學生獲得思維的經(jīng)歷與實踐的經(jīng)驗，讓數(shù)學思想在課堂中流淌。

本節(jié)課中，教師為了讓學生真正理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義，連續(xù)拋出了問題3和問題4。通過這兩個問題的研討與解決，學生對于“或”“且”“非”的內(nèi)涵既有了集合知識的同化作用，又有了物理學上電路圖的直觀模型，實現(xiàn)了“感受意義、形成表象、自我表征”的有效建構(gòu)。此外，在學生完成問題5中的簡單練習后，教師提出了一個辨析性追問，并拋出了具有探究性和概括性的問題6。由此，讓學生在解決具體數(shù)學問題后，通過歸納概括，自主地總結(jié)出復合命題的真值表，形成理性思維。縱觀整節(jié)課，教師始終通過不斷地追問，促發(fā)師生之間自然的對話，讓學生的認知活動從感性走向理性，數(shù)學思維也從膚淺走向深刻。

（三）對話：基于困惑思辨，實現(xiàn)數(shù)學思維的碰撞與提升

課堂教學的藝術(shù)性主要體現(xiàn)在懸念叢生，高潮迭起，不斷地產(chǎn)生創(chuàng)新的火花與智慧的接力。

這節(jié)課在某些復合命題的選取上可謂獨具匠心，讓學生之間形成爭議，通過交鋒與爭辯，最終達成對真理的共識與共享，讓課堂充滿了智趣。譬如，對于問題5中的命題“8≥7”的真假性辨析，從乍看時的假命題到細致分解后的真命題，學生不但做到了以理服人，而且學會了處理復合命題真假性的辨析方法。又如，對于問題7中由命題“p：方程x2+x-2=0的解是x=-2”和命題“q：方程x2+x-2=0的解是x=1”構(gòu)成的“p或q”形式的復合命題怎么寫、真假性如何的爭論更是形成了本節(jié)課的高潮，也正是在激烈的爭論、說服、接納過程中，學生對于邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義以及復合命題真值表的歸納才留下了深刻的體驗感悟與經(jīng)驗積累，并借助同化與順應的過程把新知識牢固地建立到已有的認知結(jié)構(gòu)中。

當然，課堂教學永遠是一門遺憾的藝術(shù)。這節(jié)課也有一點瑕疵。譬如，對于由命題“p：方程x2+x-2=0的解是x=-2”和命題“q：方程x2+x-2=0的解是x=1”構(gòu)成的“p或q”形式的復合命題怎么寫、真假性如何這個教學難點的處理，一方面教師應該指出，命題“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x2+x-2=0的解是x=1”不能夠簡寫成“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”，因為這兩個命題不一樣；另一方面教師還要講清楚，命題“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”中的“或”不是邏輯聯(lián)結(jié)詞，因此這一命題不是“p或q”形式的復合命題。

參考文獻：

[1] 曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學（第二版）[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

[2] 卓斌.例談數(shù)學教學中問題串的設(shè)計與使用[J].數(shù)學通報，2013（6）.