基于實(shí)驗(yàn)探究的中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)初探

李邦河院士說過：“數(shù)學(xué)是玩概念的，數(shù)學(xué)是用概念思維的，在概念學(xué)習(xí)中養(yǎng)成的思維方式、方法遷移能力也最強(qiáng)。”章建躍博士指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念往往具有鮮明的直觀背景，簡(jiǎn)單、易懂且威力無窮，是開啟中學(xué)數(shù)學(xué)大門的金鑰匙。”數(shù)學(xué)概念是對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的抽象，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基石，是數(shù)學(xué)思想方法的載體，是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的體現(xiàn)。中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念蘊(yùn)涵于中學(xué)數(shù)學(xué)課程之中，是內(nèi)容的自然起點(diǎn)，也是教學(xué)的目標(biāo)指向。做好核心概念的教學(xué)，可以提高課堂教學(xué)的品質(zhì)，從而既可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的能力提升，也可以提升教師的PCK，促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展。

目前，中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)（以下簡(jiǎn)稱“概念教學(xué)”）的狀況不容樂觀，存在著幾種異化現(xiàn)象：一種是淡化概念教學(xué)，對(duì)概念教學(xué)的過程一帶而過，讓“一個(gè)定義、兩項(xiàng)注意、三道練習(xí)”構(gòu)成概念教學(xué)的全部；另一種是在某些教學(xué)模式（如“先學(xué)后教”）的固化程式下，讓概念教學(xué)本身應(yīng)有的理性探究過程被學(xué)生自學(xué)和強(qiáng)化辨析題、鞏固練習(xí)題所取代，使概念教學(xué)變成習(xí)題教學(xué)。這些做法看似比較高效，能夠速成，其實(shí)容易導(dǎo)致學(xué)生對(duì)新概念（新知識(shí)）理解不深、不全，甚至養(yǎng)成不求甚解或斷章取義的不良習(xí)慣，同時(shí)導(dǎo)致學(xué)生很難體會(huì)到新概念（新知識(shí)）形成過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和價(jià)值意義，最終使得數(shù)學(xué)教學(xué)的“三維目標(biāo)”落空。

如何改變這種以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的狀況？一線教師作為教學(xué)活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者，必須落實(shí)新課程理念，改變功利教學(xué)觀，充分體現(xiàn)概念的形成過程，還原概念教學(xué)的本色；同時(shí)必須提升自己的鑒寶能力，遠(yuǎn)離“題型+技巧”的雕蟲小技，集中注意力于核心概念，學(xué)會(huì)用金鑰匙打開數(shù)學(xué)寶藏的方法。下面，以“圓的概念”的教學(xué)為例來談如何基于實(shí)驗(yàn)探究形成數(shù)學(xué)概念，以期拋磚引玉。

一、教學(xué)過程

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材（九年級(jí)上冊(cè)）呈現(xiàn)了圓的兩種定義：第一種是，線段的一個(gè)端點(diǎn)固定，使線段繞著固定的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的圖形叫作圓；第二種是，平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓。對(duì)于圓的定義，尤其是第二種定義，在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生自然生成、合理建構(gòu)呢？考慮到學(xué)生對(duì)圓已有一定的認(rèn)識(shí)，能用一根繩子畫出圓，筆者在教學(xué)中便從畫圓的問題出發(fā)——

師 哪位同學(xué)可以在黑板上畫出一個(gè)圓？

生 老師，需要借助工具。

師 需要什么工具？

生 一根細(xì)繩。

（教師提供器材，該生在黑板上操作，其他學(xué)生觀察其畫圖過程。）

師 請(qǐng)大家用語言來描述他是怎樣畫圓的。

生 把繩子的一端固定，然后把繩子拉直，另一端繞著固定的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)360°，另一端就畫出了圓。

（教師把該生的表述寫在黑板上所作的圓的下方。）

師 在數(shù)學(xué)中，拉直的繩子可以用什么來抽象表示？

生 線段。

師 那么，能不能用數(shù)學(xué)語言來表述這段話？

生 把線段AB的一個(gè)端點(diǎn)A固定，讓線段AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)1周，另一個(gè)端點(diǎn)B所畫出的圖形就是圓。

（教師把該生的表述寫在黑板上剛才的表述的下方。）

師 你表達(dá)得非常好！（同步操作演示）不過，如果把繩子旋轉(zhuǎn)到黑板平面外，怎么辦？

生 把線段AB繞一個(gè)端點(diǎn)A在黑板平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)1周，另一個(gè)端點(diǎn)B所畫出的圖形就是圓。

（師生一起完善圓的第一種定義，同時(shí)明確圓心的定義、圓的表示等。）

師 剛才同學(xué)借助繩子畫出了圓，那么還可以用其他方式畫圓嗎？

生 老師，可以借助圓規(guī)畫圓。

（教師提供器材，該生在黑板上操作。由于使用大圓規(guī)畫圓有一定的難度，在畫圖的過程中圓規(guī)的支點(diǎn)發(fā)生了移動(dòng)，畫出的圖形產(chǎn)生了一定的偏差。對(duì)此，師生一起反思總結(jié)：要成功畫出圓，首先必須把圓規(guī)的支點(diǎn)固定。然后，師生合作繼續(xù)作圖：該生固定支點(diǎn)，教師旋轉(zhuǎn)圓規(guī)。在旋轉(zhuǎn)的過程中教師“一不小心”把圓規(guī)的張口拉大了，畫出了如圖1所示的“圓”。）

師 我們畫的是圓嗎？

生 不是圓，因?yàn)椴粓A。

師 為什么不圓？

生 因?yàn)閳D上的點(diǎn)到圓心O的距離不一樣。

師 此時(shí)還不能稱作“圓心”哦，因?yàn)閳A心是圓固有的概念。

[師生一起繼續(xù)反思總結(jié)畫圓的要求：（1）要有定點(diǎn)O；（2）必須保持“距離”不變。然后，師生合作繼續(xù)作圖，畫出了如圖2所示的“圓”。]

師 滿足這些要求所畫出的是圓嗎？

生 不是圓，因?yàn)橹划嬃?0多個(gè)點(diǎn)，還有很多點(diǎn)沒有畫出來。

師 那我畫300個(gè)點(diǎn)、3000個(gè)點(diǎn)呢？

生 畫3萬個(gè)點(diǎn)都不夠，應(yīng)該有無數(shù)個(gè)點(diǎn)。

（師生合作繼續(xù)作圖，畫出了如圖3所示的“圓”。）

生 （立即）應(yīng)該畫出所有的點(diǎn)。

師 所有什么樣的點(diǎn)？

生 將所有到定點(diǎn)O的距離一樣點(diǎn)都畫出來，才是一個(gè)完整的圓。

（教師板書該生的表述。師生一起完善圓的第二種定義。）

至此，圓的兩種定義自然建構(gòu)形成。

二、教學(xué)感悟

實(shí)驗(yàn)是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件。通過實(shí)驗(yàn)活動(dòng)建構(gòu)概念，首先要通過實(shí)驗(yàn)充分還原概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)、感知概念的直觀背景以及與生活現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系；其次要引導(dǎo)學(xué)生思考實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷思維的內(nèi)化整合過程，讓學(xué)生在頭腦中對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行描述和反思，感悟?qū)ο蟮谋举|(zhì)屬性，并在此基礎(chǔ)上開展歸納、類比、抽象、概括，抽取共性而獲得數(shù)學(xué)概念。值得一提的是，概念建構(gòu)不要求一步到位，可以邊引導(dǎo)、邊修正、邊完善，最終實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的跳躍。

通過實(shí)驗(yàn)活動(dòng)建構(gòu)概念，不在于使用多么先進(jìn)的教學(xué)用具，設(shè)計(jì)多么豐富的活動(dòng)方案，展開多么熱烈的分組討論。在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的符合他們認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn)，能夠促進(jìn)他們思維不斷完善和概念自然建構(gòu)的簡(jiǎn)單樸素、容易操作的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，就是有效的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。我們?cè)谠O(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)時(shí)，應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面：第一，所學(xué)概念的選擇盡量是教材中學(xué)生較難直接理解的內(nèi)容；第二，實(shí)驗(yàn)工具的選擇盡量是學(xué)生容易操作的，如果學(xué)生在操作時(shí)遇到困難，教師應(yīng)當(dāng)給予一定的指導(dǎo)和幫助，并且在上課前讓學(xué)生準(zhǔn)備好實(shí)驗(yàn)器材；第三，在設(shè)計(jì)好實(shí)驗(yàn)過程后，要預(yù)想該實(shí)驗(yàn)是否能幫助學(xué)生更好地理解概念、探究概念的形成過程，如果不能，要對(duì)實(shí)驗(yàn)過程進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?/p>

通過實(shí)驗(yàn)活動(dòng)建構(gòu)概念，理性探求概念的形成過程，學(xué)生能掌握的不僅僅是概念本身，更多的是概念之外的東西，如文字語言和數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)抽象與概括能力。史寧中教授曾把數(shù)學(xué)的本質(zhì)歸結(jié)為三點(diǎn)：抽象、推理和模型；并由此提煉出數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)：一是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，二是用數(shù)學(xué)的思維思考世界，三是用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。正因?yàn)橛辛顺橄螅庞辛藬?shù)學(xué)研究的對(duì)象，才能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。這些數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力（核心素養(yǎng)）并不是與生俱來的，也很難自我習(xí)得；只有通過探究過程中教師的有效誘導(dǎo)和不同案例的反復(fù)教示，學(xué)生才會(huì)逐漸將知識(shí)與方法內(nèi)化為能力與素養(yǎng)。在充分展開的實(shí)驗(yàn)探究過程中，我們既能培養(yǎng)學(xué)生尊重事實(shí)和證據(jù)、理性求是的求知態(tài)度，也能培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、獨(dú)立判斷、縝密思維、善于質(zhì)疑的批判精神以及堅(jiān)持不懈的探索精神——這正是我們所追求的核心素養(yǎng)之科學(xué)精神。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（8）.