初中數學教學中“類比思想”的實踐與研究
——《一元一次不等式的解法》

鄭 婷

(江蘇省蘇州工業園區金雞湖學校，江蘇 蘇州 215143)

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初中數學教學中“類比思想”的實踐與研究
——《一元一次不等式的解法》

鄭 婷

(江蘇省蘇州工業園區金雞湖學校，江蘇 蘇州 215143)

數學思想方法一直是數學學習的根基，是學生學習數學的本質精華所在.在平時的教學中，結合觀察、比較、歸納、聯想,不斷滲透類比的思想方法，不僅可以激發學習的熱情和主動性，更可拓展學生的思維，為學生的終生發展奠定良好的基礎.

類比；數學思維；觀察；比較；歸納

數學上的類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想.類比在數學教學中占有十分重要的位置，也體現了學生解決數學問題的能力和創造性的思維方式.數學家歐拉曾說過“類比就是大膽的創造”，這正是說明類比思維是創造性思維的重要方面，更說明培養學生的類比思維是發展學生的創造性思維的基石.數學探究性活動中，學生靈活運用類比思想方法，必然促使學習效果事半功倍.筆者結合蘇科版《一元一次不等式的解法》談談自己如何在課堂中通過觀察、比較、歸納、聯想四步滲透類比的思想方法.

一、觀察啟動類比思維是探究性學習的起點

教學設計：探究一元一次不等式的定義

問題1 觀察下列方程x+2=48、2x=x-3、3x+70=100 ，這是我們學過的一元一次方程，請回憶一下，一元一次方程的定義是什么？

生：只含有一個未知數，并且未知數的次數都是1次，像這樣的方程叫做一元一次方程.

問題2 如果我把這三個方程全部改成不等式，x+2≤48、2x100，它們有什么共同特征？

生：①只含有一個未知數，②未知數的次數都是1

問題3 你能仿照一元一次方程的定義說說一元一次不等式的定義嗎？

師生總結：只含有一個未知數，并且未知數的次數都是1，系數不等于0,像這樣的不等式叫做一元一次不等式.

一元一次方程和一元一次不等式從形式上來看，只有等號和不等號的區別，放在一起類比轉化學習，是很有必要的.從教學過程來看，通過復習學生已經掌握的知識，通過類比思維順理成章過渡到本節課的新知識，筆者在設計問題串的時候要注意指向明確，不設置思維障礙，逐步引起學生的探究性思維，激發探究興趣.正是通過問題串引導學生觀察，從而開啟了學生的類比轉化思維.觀察不僅簡化和優化了問題的解答過程，而且讓學生感受到類比思維的真正內涵.

筆者在進行概念式教學時一直堅持訓練學生的觀察意識和觀察能力. 數學學習活動中的觀察不能狹義地認為只是直觀地看，需要眼腦并用，而且觀察的對象也并非都是直觀的.筆者深知觀察能力對于數學學習中各方面能力的培養都具有直接或間接的促進作用.基于觀察，我們才可以做到識別圖形、把握數據之間的關聯、發掘基本規律和提高數學化能力.總而言之觀察啟動類比轉化思維是探究性學習的起點.

二、比較感受類比思維是探究性學習的重點

教學設計：探究一元一次不等式的解法

問題1 如何求一元一次方程3x+70=100的解？

生：3x=30，x=10.

師：解一元一次方程的一般步驟有哪些？

生：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1.

問題2：如何求一元一次不等式3x+70>100的解集？

生小組交流.

生：我們組覺得可以和解一元一次方程一樣.

師：對于不等式而言，你們覺得“去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1”同樣適用，對嗎？下面我們一起來驗證一下.

師：在前一節課的基礎上，我們可以用不等式的性質將不等式變形，誰來說說看.

(生邊說師邊板書)

生：兩邊同時減去70為3x+70-70>100-70.

師：這個過程能否直接簡化為3x>100-70.

生很快反應：這是移項,然后可以合并同類項為3x>30.

生：兩邊同時除以3，不等號方向不改變為x>10.

生：這是系數化為1.

師：很好，你們已經說出了解一元一次不等式的幾個基本步驟.

師：通過觀察比較一元一次方程的解法，你們得出了本節課的第二個知識點如何解一元一次不等式.那來練一練手吧：14-2x>6.(生獨立完成)

師投影一份學生過程：14-2x>6，-2x>6-14，-2x>-8，x>4.你有不一樣的想法嗎？

生：最后一步，我覺得不對，應該為x<4.

生討論哪個答案正確.

生：-2x>-8，兩邊同時除以-2，不等號的方向要改變，應為x<4.

師：步驟中一元一次不等式與方程唯一的不一樣在于系數化為1，不等號的方向是否變號，這也是不等式求解中最容易出錯的地方.

這個教學過程中體現兩次比較過程，第一次比較體現在比較一元一次方程和不等式，從而由解一元一次方程的步驟類比到解一元一次不等式的一般步驟，符合學生的認知規律，整個思維過程也是非常順暢，這樣的探究活動對學生而言是充實的，也是印象深刻的.在實際上課過程中，筆者一直堅持以學生為學習的主體，無論學生得出什么樣的結論，都會讓大家互相交流一下是否需要糾錯，筆者希望通過生生互動找到學習中每個人的自我存在價值，最后老師引領提升和學生一起歸納總結.第二次比較體現在一元一次不等式的最后一步“系數化為1”是否和方程一樣，如果老師直接告訴學生要注意不等號的方向是否改變，學生根本無法體會到這是本節課的一個重難點.筆者選擇引導學生糾錯，當思維的火花不斷碰撞時，這樣的思辨過程充滿了樂趣.

三、歸納形成類比思維是探究性學習的核心

教學設計：運用一元一次不等式的解法

(課件展示)(1)10-4(x-3)≥2(x-1)；

(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x).

生獨立完成.

生(投影自己的過程)：觀察題目發現有括號，那么應該首先去括號，方法和方程中的去括號一樣，所以基本步驟為去括號、移項、合并同類項、系數化為1.

師：如果不等式中出現分母呢？

生：那就去分母，還是類比一元一次方程的解法.

師：點到關鍵點上了，已經會用類比的方法來研究不等式了，下節課我們再來重點探究.

整堂課在不斷滲透類比的數學思想方法，結合觀察和比較的策略，引導學生內化為自己的數學探究能力，也歸納得出了解一元一次不等式的完整步驟.整個過程以學生說為主，一直呈現學生的主體地位. 除了學習中不斷訓練學生觀察對比的能力，歸納形成類比思維的能力更是筆者關注的探究性學習的核心.當學生想不到正確的思路時，筆者建議根據題中的“特殊情況”的結果猜測“一般情況”的可能性，逐步得到突破口的啟發.這樣的探究思維正是體現了由特殊到一般的類比歸納思維.

四、聯想升華類比思維是探究性學習的高潮

解學設計：一元一次不等式解法的拓展提升

1.求不等式3x-11<0的正整數解.

2.如果不等式ax>a的解集是x<1，那么a應滿足的條件是什么？

3.已知關于x的方程4x+3a=3x-(2a-3)的解是負數，求a的取值范圍.

生：第1題先移項、系數化為1，解出它的解集，再在解集范圍內求出正整數解.

師：思路完全正確，那么你在觀察題目時，哪些關鍵詞需要劃出來？

生：“正整數解”.所以只有先有解集，才會有正整數解.

師：題1可以歸納為求一元一次不等式的特殊解.

生：不等式中為“>”，但是“解集是x<1”，這一步系數化為1，兩邊同時除以a，只有a為負數，不等號的方向才會改變.

師：觀察到位，對比明確，分析透徹，結論正確，大家要像他學習先觀察題目，聯想相關知識點，再辨析思路.

生：因為“解是負數”，所以先求方程的解，再根據解是負數列不等式，求不等式的解集.

師：題3中“解是負數”將方程和不等式相結合， 但是只要你們掌握了解決方法還是難不倒你們.

最后的拓展提升環節讓本節課達到一個高潮，學生的積極性都被調動起來了，大家躍躍欲試開動腦筋.這三題都是精選出來的典型題目，學生觀察題設、對比思路、歸納結論，正是不斷重復這樣的思維過程，類比的思想方法不斷滲透到探究過程中，漸漸內化為學生的數學化能力.

總而言之，新舊知識上串下聯中掌握了類比這一思想方法有利于幫助學生不斷構建知識體系，從而促使學生一步又一步解決相關的數學問題，不斷體現自我價值、享受成功的喜悅.教師在初中數學教學中根據教學目標和學情應該堅持不斷滲透類比的數學思想方法，因材施教，做到讓學習真正在發生.長久以往，學生的思維創造力和邏輯分析能力也會不斷增強，更有益于今后的數學學習.

[1] 盛保和. 淺議初中數學教學中如何培養學生的數學思維能力[J]. 教育教學論壇, 2013(06): 23-25.

[2] 吳傳發. 按照中學生數學思維的發展規律進行數學思維訓練的探索[J]. 課程.教材.教法, 2000(11): 13-15.

[責任編輯：李克柏]

2017-05-01

鄭婷(1985.1- ),女 ,江蘇如東，一級教師，本科，從事初中數學教學.

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1008-0333(2017)17-0040-02