淺析“求導法”在高中數學應用題中的應用

湖南省長沙市雅禮中學(410000)

鐘柏舟●

淺析“求導法”在高中數學應用題中的應用

湖南省長沙市雅禮中學(410000)

鐘柏舟●

導數是高中數學中的重要概念，通過求導等方法可以對函數的一系列性質例如單調性，極值等進行分析.在高中數學的考試過程中導數問題是一類重要的問題，靈活地運用求導法對問題進行求解對同學們數學成績的提高有很大幫助.本文對導數的概念和導數在應用題中的應用進行了探討，并對考試中常見的幾種求導方法進行了對比研究.

導數；求導法；高中數學

導數是高中數學中的一個重要部分，在考試過程中導數問題十分常見，掌握導數問題的解題技巧對同學們學習成績的提高有很大幫助.與此同時求導法解題也是同學們在學習過程中常見的難點，因此本文對求導法在數學題上的應用進行分析和闡述.

一、導數的概念

導數是微積分數學中的一個重要概念，可以表示函數的斜率等重要性質.對于一個可導函數來說，f(x)在x0點處的導數f′(x0)表示f(x)的曲線在x0點處切線的斜率.對導數的數學定義為：設函數y=f(x)在點x0的鄰域內有定義，當自變量x產生了Δx的增量時，f(x)相應產生Δy的增量.若Δy與Δx的比值Δy/Δx在Δx→0時存在，則稱f(x)在x0處可導，記此極限為函數f(x)在x0處的導函數f′(x0).若某一函數f(x)在整個區間U內都可導，在這一區間內f′(x)就形成了一個新的函數，稱該函數為f(x)在區間U內的導函數.

導數是函數的重要性質，函數f(x)在x0處的導數描述了該函數在x0處的變化率.若函數f(x)為實函數，則導數f′(x0)代表曲線f(x)在x0處的切線的斜率.可導函數一定是連續的，但反過來連續函數卻不一定可導.導數許多科學問題的分析解決中都有重要的應用，例如在物理學中用速度對時間的導數來定義加速度這一概念.

二、求導法在函數單調性判斷上的應用

在考試過程中我們經常會遇到判斷函數單調性或求解函數單調區間的問題.對這一類問題在傳統上我們需要根據函數的特性，畫出函數的示意圖形.這一過程相對比較復雜，而且準確性較差，尤其對于復雜函數來說解題難度非常大.但是如果將求導法引入，這類問題的求解將會迎刃而解.根據導數與函數的關系，對于可導函數來說若在某一區間上導函數f′(x)大于0，則函數f(x)在該區間內單調遞增；若導函數f′(x)小于0,則函數f(x)在這一區間內單調減小.因而在函數單調性問題的判斷上如果我們能夠找到函數的導函數，根據導函數的正負性特征就可以得到問題的答案.

例題 已知函數f(x)=2ax3-2x-5在R上為減函數，求a的取值范圍.

解 函數f(x)的導函數f′(x)=6ax2-2.因函數f(x)在R上為減函數，則函數f′(x)=6ax2-2在R上小于0.此時6ax2-2<0，可以解得a≤0.

根據函數的單調性質還可以對函數的極值問題進行求解.一個函數的導函數有f′(x0)=0,x0,x>x0時f′(x)<0，則f(x0)為函數的極大值；xx0時f′(x)>0，則f(x0)為函數的極小值.

例題 求函數f(x)=x3-6a2x+9(a>0)在R上的極值點.

解 對函數進行求導得，f′(x)=3x2-12a2.f′(x)=0時有x1=-2a,x2=2a.因在(-2a,2a)區間上f(x)<0,在(-∞，-2a)和(2a,+∞)的區間上f(x)>0,可知x1=-2a和x2=2a分別為f(x)的極大值點和極小值點.

三、求導法在隱函數解題中的應用

隱函數是指沒有明確表示成y=f(x)的函數，y與x之間的關系用f(x,y)=0來進行表示.例如函數y=3x+7就是顯函數，而函數3x2+y3+7=0就是一個隱函數.隱函數的求解是高中數學中的一大難點，需要我們靈活運用求導等手段進行解決.對隱函數的求導方法包括直接求導法、對數求導法，在解題過程中要根據題目的類型選擇合適的求導方法.下面對這些方法進行詳細的介紹.

對拋物線、橢圓等復雜隱函數方程的切線問題的求解是一種常見的題型，在解題過程中可以利用求導法進行解決.

例題 已知橢圓曲線ax2+by2=1(a,b>0),求該橢圓上點P(x0,y0)處的切線斜率.

解 對橢圓方程進行直接求導得，2ax+2byy′=0，即有y′=-ax/by.將P點坐標(x0,y0)代入得P點處切線的斜率為k=y0′=-ax0/by0.

對一些復雜的函數來說，直接進行求導困難較大，可以通過將這類函數轉換成隱函數，通過對數求導的方式進行求解.

例題 求y=xsinx(x>0)的導函數.

對例題進行分析，該函數的形式比較特殊，直接求導沒有可用的公式定理作為參考.因為x>0，函數兩側恒大于0.可以對函數兩側同時取對數，然后再進行求導運算.

解 由于x>0,觀察函數可知y>0.對函數兩側同時取對數，有lny=lnsinx+lnx.對這一函數進行求導得，y′/y=cosx/sinx+1/x，化簡可得y′=xsinx(cosx/sinx+1/x)=xcosx+sinx.

綜上所述，通過這些應用實例可以看到導數在數學應用題的解析中用途廣泛，通過求導法的運用可以明顯降低解題難度，提高解題效率.本文對隱函數的求導方法也進行了簡單的介紹，尤其是提出可以用對數求導等特殊的求導方式對導函數進行求解.

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[2]韋洲.導數在高中數學解題中的運用[J].新課程:中學，2014(10):87-87

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