高中函數(shù)問題的解題技巧研究

中國人民大學附屬中學(100080)

曹夢炘●

高中函數(shù)問題的解題技巧研究

中國人民大學附屬中學(100080)

曹夢炘●

本文根據(jù)自身經(jīng)驗介紹了高中數(shù)學函數(shù)的相關問題，介紹了函數(shù)的基本概念和重要性，探討了函數(shù)基礎知識對函數(shù)解題的方法，尤其詳細分析了函數(shù)單調(diào)性在解方程、不等式和求參數(shù)取值范圍題型中的解題技巧.本文還總結(jié)了解決高中函數(shù)問題所需的能力以及解題過程的具體步驟，希望通過本文的總結(jié)對函數(shù)部分有困難的同學有所幫助.

高中數(shù)學；函數(shù)問題；解題技巧研究

一、函數(shù)單調(diào)性在解方程中的解題技巧

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來解題，有可能使解題變得事半功倍.考慮函數(shù)在一定區(qū)域內(nèi)的單調(diào)性是一種常用的解題思路，當我們遇見一些我們毫無頭緒的習題時，可以從單調(diào)性的角度出發(fā)，嘗試解題.從單調(diào)性出發(fā)，舉一反三，擴展自己的數(shù)學解題思路和視野，提升自主解決函數(shù)類題目的能力，提升數(shù)學自信心和降低對數(shù)學的抵觸程度，對自己和教師課堂的氛圍都很有幫助.我們使用單調(diào)性來解題，一般先要找到方程相應函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

在多做一些可以通過函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)來解題的題型之后，我們可以發(fā)現(xiàn)我們就是運用到了函數(shù)單調(diào)性的基本概念，對概念正過來使用或者反過來證明.第一步就是找到所求方程的原方程f(x)；我們可以假設f(x)為奇函數(shù)，那么f(x)=-f(-x)；再由單調(diào)遞增等條件就可求出方程的根.關鍵是找到題目的結(jié)構(gòu)特征，并且快速反應到單調(diào)性這一點上.做題時思維的快速思索與反應，可以加深我們對數(shù)學知識的理解.

二、函數(shù)單調(diào)性在解不等式中的解題技巧

函數(shù)單調(diào)性在解不等式題型中也有廣泛應用.剛開始做不等式時，我們一般根據(jù)死記硬背的課本公式或者老師給予的經(jīng)驗公式來做題，這在開卷時問題不大，但實際考試時，往往會出現(xiàn)各種問題.我們在平時做題中，要主動將不等式題型進行分類，廣泛使用數(shù)形結(jié)合等諸多經(jīng)驗方法來解題.這樣，我們不僅提高了不等式題目的解題能力，同樣也提升了我們自己的函數(shù)思維和數(shù)學能力.我們可以將不等式假設為一個函數(shù)，放置于構(gòu)想的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，這樣就可以探研所求不等式的單調(diào)性.所謂數(shù)形結(jié)合，就是從幾何的角度看問題，將簡單函數(shù)翻折和變換，作出函數(shù)的圖象，平移所作圖象，我們就可以清晰觀察公共點個數(shù)，從而完成解題.

三、函數(shù)單調(diào)性在求參數(shù)取值范圍題型中的解題技巧

有效運用題目給出的已知條件來解題，是解決一些看起來復雜、難懂題目的關鍵.參數(shù)取值范圍這類題型就是該類題型.我們可以使用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)來求參數(shù)的范圍，就是將表面的問題轉(zhuǎn)換為不等式的恒成立問題.這種情況下，解題過程中一般都涉及到多種不同的數(shù)學思路和知識點，因此，題目已知的各項條件都很重要且必不可少.同時，這也要求我們平時數(shù)學知識的積累夯實，系統(tǒng)的學習數(shù)學知識，這樣我們才能熟練地結(jié)合各項函數(shù)知識點，學以致用，函數(shù)問題靈活多變，應用也廣泛.我們要充分掌握基本的概念，并做到在解題時活學活用.

四、高中函數(shù)問題解題能力分析

高中數(shù)學函數(shù)的解題從根本上是檢驗我們高中生的空間想象能力、抽象總結(jié)能力、證明推斷和計算變形等基本能力，同時數(shù)學的求解也考查了我們的觀察能力、記憶能力和數(shù)學表達與交流的能力.我們要想學好函數(shù)這一模塊，經(jīng)過總結(jié)，需要具體掌握如下逐條具體知識點或能力.

我們要理解和掌握函數(shù)各個概念自身與之間的關系，比如，定義域、值域與定義法則之間的關系與含義.函數(shù)題是由許多的函數(shù)符號構(gòu)成的，靈活書寫與運用函數(shù)表達式是解函數(shù)題最基本要求.若連題目中的變量都不認識、都不理解，那做題也就無從談起了.做題，就是我們將腦中形成的思路和想法，用數(shù)學語言、數(shù)學符號表達到紙上.解決數(shù)學函數(shù)題，我們要善于看破紛亂復雜的題目表象，抓住題目的本質(zhì).歸納與提煉題目中有意義的條件，概括題目中的數(shù)學關系.函數(shù)題常用的解題思路有定義法與圖象法，具體情況具體分析，根據(jù)不同的情境，選擇判斷單調(diào)性還是作差和作商法.習慣用抽象思維和形象思維將幾何、圖象融合起來，簡化復雜問題，優(yōu)化解題路徑.例如，我們就經(jīng)常用作圖法探究函數(shù)的單調(diào)性和最值情況.提升計算能力和優(yōu)化運算方式，對數(shù)學解題有著直接的影響關系.根據(jù)因果關系進行推理認證，是我們在證明應用題上經(jīng)常見到，這考驗的是我們思維的邏輯性；最后，考試中，總會有我們之前見不到的新鮮題型.這就要求我們平時提升自己的創(chuàng)造力和創(chuàng)新思維，習慣舉一反三，提升直覺與靈感.

五、高中函數(shù)問題解題過程分析

當我們新入手一道函數(shù)數(shù)學題時，首先要審題，而且要認真審題.仔細查看題目中給予的明顯已知條件和隱藏的已知條件與問題.挖掘已知條件與未知求問之間的關系，在腦海中虛擬構(gòu)建題目已知條件和所學知識點的關系，深刻理解題目.在仔細審題之后，我們要考慮解題的方法與策略.在腦海中構(gòu)建一個虛擬的模型.嘗試組合所學知識點，看能否“解鎖關卡”.第三個部分就是實施上一步的解題思路.要將腦中的計劃用數(shù)學語言表達出來，這實實在在地考驗著我們的各項數(shù)學能力，檢驗我們的數(shù)學知識是否掌握扎實、檢驗思維是否靈活、檢驗我們能否順利表達數(shù)學思想.最后，要對我們寫下的步驟進行檢查，查驗是否求對未知參數(shù)、檢驗證明條件是否遺漏、檢驗公式、求導和計算是否正確等等.在函數(shù)解題過程中，定理、公式極為重要.錯誤的公式，會使我們這道題所有的努力化為烏有.因此，我們在記憶公式時，要充分熟悉和了解公式的意義和適用范圍，盡可能地了解公式的推理過程，體會其中的函數(shù)思維，了解公式間的聯(lián)系，并從大量的練習中掌握公式的正確使用和靈活應用.

綜上所述，函數(shù)的重要性，我們無需多言.各種各樣的不同題型，需要不同的解題思路.當我們一籌莫展時，函數(shù)的單調(diào)性往往是函數(shù)題目最佳的突破口.我們可以從函數(shù)單調(diào)性出發(fā)，較為輕松地完成解題.數(shù)學學科由于其具有其高抽象性、強邏輯性等特點，這就要求我們在平時練習中積累各種上文所述的數(shù)學能力.我相信，做到牢打根基，廣泛拓展，積極創(chuàng)新，挑戰(zhàn)自己，超越自我，那么就沒有克服不了的數(shù)學問題.

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