求和問題，數列教學的“重頭戲”

付連剛

【摘要】數列求和問題是高中數學的重要知識內容，求和方法復雜多變，培養同學們熟練的運用這些方法是教學的重點與難點。筆者作為一名高中數學教師，根據多年的教學經驗，在本文中淺談了幾點對數列求和知識進行高效解讀的教學策略，具有一定的參考意義。

【關鍵字】高中數學；數列；求和；轉化

中圖分類號：G633.6

數列是一種特殊的函數，其應用在高考中占有重要的地位，考察了同學們的邏輯思維能力、推理能力、謹慎性以及靈活性。筆者作為教學中的主導，在教學過程中引導同學們探究數列求和的技巧與關鍵，促進教學目標高效的完成。

一、疊加疊乘，引導轉化

數列求和有很多求解的方法，包括倒序相加法、拆項重組法、裂項相消法、錯位相減法、疊加法、疊乘法等等。為了深化同學們對每一種求和方法的應用，在教學時可以開展專題性的講解，本文以疊加疊成這一專題教學為例，重點進行探討。

在數列的學習中，等差數列與等比數列是可以直接根據公式進行運算的，借助公式能夠使運算變得非常簡單。對于一些特殊的數列，同學們通過疊加或疊乘這樣轉化，能夠將遞推數列轉化為可以直接應用公式的等差或等比數列，或一些求和簡單的數列，根據其通項公式進行求解。然而同學們總是不能避免走一些彎路，沒有進行正確轉化，造成運算非常復雜，解題思路不對。因此，我通過讓同學們練習一系列的求和問題，去領悟運用疊加疊乘的方法及相關類型數列的特點。例如，已知a1=1，an+1=an+2n，求數列的和Sn。對于這道問題，直接利用遞推公式求解Sn是非常困難的。首先應當根據遞推公式求出an的通項公式，這里就用到的是疊加法。由遞推公式可得a2-a1=2，a3-a2=2*2，a4-a3=2*3，……，an-an-1=2n-1，將這n-1個式子相加可得an=1+2+2*2+2*3+……2n-1，化簡得到an=1+2（1+2+3+……n-1）= n（n-1）+1=n2-n+1。Sn=（12+22+32+ ……+n2）-（1+2+3+……+n）+n=n（n+1）（n+2）/6-n（1+n）/2+n，得解。通過對若干運用累加法求和問題，我引導同學們去探究總結其中的規律，最終同學們發現，對于an+1=an+f（n）這種形式的遞推數列，應當通過疊加法求其通項公式，當f（n）是一個常數時，數列是等差數列。同樣的方式，我再引導同學們進一步探究疊乘法的應用。

在上述教學活動中，我通過展開專題講解，引導同學們去深入探究每一種求和的方法，有助于促進同學們扎實基礎，落實基本功，從而靈活的運用這些方法解決綜合性問題，提高解決問題的能力。

二、自行編纂，凸顯層次

教師的教學要注重層次性，每個同學的理解能力有高有低，對知識的吸收程度不同，因此教師在讓同學們進行習題練習時，也要注重層次性，從易到難，從淺到深，使不同層次的學生都有所收獲。

比如，我通過自行編纂習題，充分注意題目的難易程度，使同學們一步一步的獲得能力提升。最開始我會要求同學們能夠充分的理解與運用等比數列及等差數列的公式，嚴格遵守公式應用的條件。例如在求等比數列的和時，如果公比不是一個已知的常數，那么同學們在求和時一定要分為公比為1和公比不是1這兩種情況。接下來同學們需要學會通過進行一定的變形進而應用等比數列或等差數列的求和公式求解。例如一些數列既不是等差數列，也不是等比數列，但是通過將數列進行適當的拆分，可以分為幾個等差數列、等比數列或者常見的數列，這種方法即為分組求和法，是比較簡單的變形。其次還有錯位相減求和這一方法，同學們通過設置錯位，相減之后得到一個等式，等式一邊是含有Sn這一參數的簡單式子，通常為（1-x）Sn，等式右邊可以利用等比數列求和公式進行化簡，最終得到Sn。接下來同學們需要掌握一些復雜的變形求和，例如裂項相消法的運用。

在上述教學活動中，我通過有層次性和遞進性的開展教學內容，使不同水平的同學都盡可能的學到知識，水平低的同學可以掌握求和的基本方法，會求解簡單例題，而水平高的同學在教學中不斷地獲得提升，很大程度上提高了課堂的效率。

三、高度預見，對癥下藥

根據歷年的教學經驗，教師是可以預見性的估計同學們可能會出現問題，發現那些知識是同學們的薄弱之處。教師通過有針對性的對癥下藥進行設計，可以有效的促進同學們攻克重點難點，提高數學知識水平。

比如，在對數列的求和問題進行教學時，我發現同學們對數列的性質掌握的并不是很好，經常會混淆。為了使同學們充分的吸收這部分知識，我對癥下藥，就這部分知識有針對性的進行了備課，以幫助同學們有效的梳理。我首先出了一道典型例題讓同學們自主解答，例如，等差數列的{an}的前m項和為30，前2m項和為100，求它的前3m項和。通過觀察同學們的解題過程，我發現有部分同學果然按我所預計的，將通項性質與前n項和的性質混淆了。我采用不點名的方式將其錯誤答案在黑板上板書出來，讓同學們來分析一下錯誤之處。錯誤答案如下：由于Sm，S2m，S3m成等差數列，所以2S2m=Sm+S3m，S3m=2*100-30=170。同學們紛紛回答是錯的，Sm，S2m，S3m并不成成等差數列。我對同學們說 ：“那同學們能用具體的數據告訴我為什么不成等差數列嗎？”同學們是通過舉例的方法說明了這一問題，Sm=m（a1+am）d/2，S2m= 2m（a1+a2m）d/2，S3m=3m（a1+a3m）d/2，給m、d、a1賦予具體的數值可以計算出三者并不成等差數列。我繼續提問：“那么這道題應該怎么做呢？”同學們回答到，Sm，S2m-Sm，S3m- S2m成等差數列，公比為m2d，所以2（S2m-Sm）= Sm+S3m- S2m，代入數值得S3m=210。為了讓同學們都能深入的理解這一性質，我引導同學們再一次證明了 Sm，S2m-Sm，S3m- S2m為何成等差數列，以及公差的公式，有助于同學們對其產生更深的記憶。

在上述教學活動中，我通過設計問題，讓同學們先出現錯誤，然后對其進行針對性的講解與指導，使同學們意識到求和問題的關鍵，從而產生更深的理解與認識，高效的達成了教學目標。

綜上所述，教師在教學過程中，通過對重點的求和方法進行專題講解、選配具有層次性的典型例題進行訓練、對可能出現的問題進行針對性的設計等策略，能夠有效的提高教學效率，讓同學們更好的吸收和運用數列求和的知識，實現高效的數學課堂。

參考文獻：

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[2]王英任.關于數列求和問題的方法和技巧[J].河南教育學院學報（自然科學版），2002（01）.