高中階段平均值不等式的幾點應用

賀安全

【摘要】均值不等式是高中數學學習的重點內容，在很多領域都有十分重要的應用，是高考試題的一個熱點。筆者根據多年的教學經驗，淺談了高中階段平均值不等式的幾點應用，具有一定的參考意義。

【關鍵字】均值不等式；高中；應用；最值

中圖分類號：G633.6

均值不等式是高中數學教材的一個重點和難點內容，在這部分的學習中，均值不等式的應用主要有三個方面，用于求最值，用于比較式子大小和用來證明不等式的成立。應用均值不等式解題時需要注意均值不等式的使用條件，掌握變形技巧，這樣才能得心應手的應用均值不等式。作為一名數學教育工作者，我在教學時不斷摸索和總結高效的教學方法，我發現通過開展總結性的教學專題，有利于取得更好的教學效果。例如，在教學均值不等式這部分時，我對均值不等式的各種應用情況和應用技巧進行總結，使同學們形成一個系統的框架，有利于加深同學們的理解，熟練的進行應用。

一、靈活配湊，求出最值

應用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙變形求最值、結合待定系數法求最值三個層次。解題時的技巧是要學會靈活的配湊，配湊方法主要有拆項配湊法、加倍裂項配湊法、平方裂項配湊法、添項配湊法、換元配湊法和待定系數配湊法等。

我在對這一應用類型進行教學時，將每種配湊方法都用對應的幾道典型例題進行講解，讓同學們體會配湊方法的選取與應用。例如，已知x>-1<-1，求函數y=（x+5）（x+2）/（x+1）的最小值。解題時，我們選取了拆項配湊法，在各因式中分別配湊出（x+1），借助于裂項解決問題。因為x+1>0，所以y=[（x+1）+4][（x+1）+1]/（x+1），進而化簡為y=[4/（x+1）]（x+1）+5，化簡到這一式子即可應用均值不等式，y≥5+2√（x+1）[4/（x+1）=9，當且僅當x=1時成立，y的最小值為9。通過對典型例題進行分析與講解，同學們掌握了拆項配湊法求最值的解題方法。另外，對于不同的求最值題型，我也總結出相應的求解技巧，以促進同學們遇到時能快速的做出判斷。例如在求幾個正數和的最值時，解題關鍵在于構造條件，使其積為常熟，然后選用配湊的方法進行變換。求幾個正數積的最大值時，首先需要創造條件使和為常數。通常是通過乘以或除以常熟或拆因式的方法創造。最后，我對同學們的易錯點進行了強調，同學們解題時常常忽略了定值的選取或是“=”號成立的條件，并對同學們的錯題進行舉例，以加深同學們的記憶，達到更好的教學效果。

在上述教學過程中，我通過習題講解的方法向同學們滲透各種求最值的方法，目的是讓同學們學會如何靈活的應用均值不等式。利用均值不等式求最值的方法多種多樣，變化多端，只有掌握所有的變形技巧和求解方法，多做一些求最值的題型，加強訓練，多多體會，在解題時靈活的配湊，才能達到舉一反三的目的。

二、注意條件，比較大小

均值定理可以用來比較式子的大小。掌握這一均值定理的應用的方法是快速求最值，證明不等式和解決應用題這些題型的基礎。同學們需要通過進行靈活的變化，應用均值不等式來比較式子大小。

對于這一應用，同學們經常會忽略均值定理的使用條件，致使解題思路雖然正確但因為一些偏差而錯誤。對于這部分進行總結時，我將同學們出現過的典型錯題進行分析與講解，讓同學們既學會這一應用的技巧和方法，同時把握住易錯點，做題時謹慎注意。例如，a>b>1，Q=√（lga*lgb），W=（lga+lgb）/2，S=lg[（a+b）/2]，比較Q、W、S的大小。因為a>b>1，所以我們可以判斷出lga>lgb>0，所有變元為正數，因此在解題時，可以通過均值定理來比較三個式子的大小。否則，如果題目中沒有給出a>b>1的條件，我們需要分a>1，b>1和a<1，b<1，和a>1，b<1，和a<1，b>1這四種情況進行分類討論的。同學們在解題過程中，需要首先判斷是否可以應用均值定理，在解答中明確的寫出判斷能夠應用均值定理的條件，然后再進行比較大小，這樣的解題過程才是最完整、最準確的解答。

在應用均值定理比較大小時，同學們一定要首先判斷是否滿足應用均值定理一“正”，二“定”，三“相等”的條件，然后靈活的應用均值不等式a^2+b^2≥2ab和a+b≥2√（a*b），進行式子大小的比較。

三、巧妙代換，轉化證明

均值定理是證明不等式的有力工具，應用技巧主要有巧用常熟、巧變項，通過巧添、巧拆、巧湊常數或者是項進行巧妙的代換，然后應用均值定理實現不等式的證明。

對于均值定理的這一應用的教學中，我首先通過例題講解了巧用常數與巧變項的方法。例如，已知a>0，b>0，a+b=1，求證√（a+1/2）+√（b+1/2） ≤2。對于這道題的求解，是通過巧用常數進行轉化的。為了脫去左邊不等式的根號，可以通過條件a+b=1來實現，把a+1/2看作是（a+1/2）*1把， b+1/2看作是（b+1/2）*1，然后利用均值定理湊出常數因子，√[1*（a+1/2）] ≤（1+a+1/2）/2=a/2+3/4，√[1*（b+1/2）] ≤（1+b+1/2）/2=b/2+3/4，因此原不等式就轉化為√（a+1/2）+√（b+1/2） ≤a/2+3/4+ b/2+3/4=（a + b）/2+3/2=2，不等式得證。通過對于這一例題的講解，同學們理解了巧用常數這一技巧。同樣的其他常數的用法和項的用法也是通過例題向同學們滲透。對方法進行完總結后，我對利用均值定理證明不等式的常見題型進行了匯總。第一類是對稱性的不等式，這類不等式的證明技巧通常是分別應有均值定理然后將所得不等式兩邊分別相加或相乘即可得證。第二類是需要整體替換的不等式，這類不等式通常是先觀察不等式的特征，然后結合題目中的條件進行整體替換。第三類是在證明中需要利用題目中隱含條件的不等式。這類問題需要同學們善于充分挖掘題目中隱含條件，例如通過題目提供的條件a+b=1，可以挖掘出a* b≤1/4這一條件，在證明過程中進行替換。

應用均值定理證明不等式，需要同學們仔細觀察不等式和所給條件，分析所證不等式的結構特征，靈活運用各種技巧和方法進行解題。同學們經過不斷的練習，才能迅速的通過觀察分析找到解題思路，準確迅速的求證。

均值不等式因其應用的廣泛性與靈活性，是高中學習的一個難點。本文對均值不等式的求最值、比大小、證不等式這三個應用進行了總結與探討，并對同學們的易錯點進行分析，旨在強化同學們對于均值不等式的應用。同學們在應用均值不等式時，一定要切記均值定理的使用條件和變形技巧，減少錯誤的發生，提高解決問題的能力。

參考文獻：

[1]劉藝.均值不等式的應用[J]. 教育教學論壇，2011（17）.

[2]趙建勛.淺談均值不等式的應用[J].高中數學教與學，2011（03）.