挖掘數學中的辯證素材，培養師范生辯證數學思維能力

摘 要：通過挖掘數學中的辯證素材，正確理解知識之間的相互聯系、轉化與統一，使所學知識更加系統化、科學化，更好地提高學生邏輯思維和抽象思維能力，分析問題和解決問題的能力，同時進一步培養學生形成初步的科學數學觀和數學方法論。

關鍵詞：辯證法；數學觀；方法論；素質教育

G633.6

剛畢業的師范生能否勝任新的教師崗位、落實新課程理念，在學科教學中能否引導師范生挖掘數學中的辯證素材，能否培養辯證的數學思想，是我們學科教學法老師值得深思的問題。 “如何把數學課程中的辯證唯物主義因素在數學教學中體現出來，值得好好研究”①。“具有一定的數學視野，逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神，體會數學的美學意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀。”②因此我們要引導師范生充分挖掘數學中的辯證素材，充分運用數學內在的辯證規律去指導學生進行歸納、總結，使所學的知識是系統的，而不是孤立的、零碎的。

一、引導師范生挖掘數學辯證素材，特別是普遍聯系觀點的體現，進一步培養學生邏輯思維能力

唯物辯證法關于普遍聯系的觀點有兩重含義，其中之一是“任何事物、現象、過程內部的各個部分、要素、環節、成分又相互聯系、相互作用著。”③橫斷科學以事物與現象中普遍存在的某種關系為研究對象，數學以事物關系中的數與量的關系為研究對象。以引導學生正確把握代數式、方程、函數三者之間的關系為例說明：⑴進一步明確它們的概念，特別是函數概念，小學、初中階段的“變量說”到高中階段的“對應說”，再到大學階段的“關系說”，三者之間存在普遍聯系。③⑵函數、代數式、方程、不等式的聯系：

①.任何代數式A（x）可以看著變量x的函數代數表達式：y= A（x），求代數式的值就是求函數的值。

②.函數y= f（x）是一個二元方程y- f（x）=0或不等式y- f（x）>0（或<0），當變量x取何值時，函數值y=0、y>0、y<0？

③.函數的不動點，就是解方程f（x）=x。

因此代數式、方程、不等式、函數四者關系緊密，弄清它們異同非常重要。像這樣教學學生的邏輯思維能力逐漸會提高。

二 、引導師范生挖掘數學辯證素材，特別是辯證法三大規律的體現，進一步培養學生辯證數學思維

㈠質量互變規律的體現

恩格斯說：“量變改變事物的質，質變同樣也改變事物的量。”④也就是說，量變引起質變，在新質的基礎上又產生新的量變，這就是質量互變規律，掌握引起質變的量的臨界點是數學教學的關鍵。例如：

1.一元二次方程ax?+bx+c=0 （a≠0）根的情況時，就借助于根的判別式量的變化而導致根的質的變化，由根質的變化也會改變量的變化。

△ =b?-4ac>0?方程有兩個不相等的實根。

△=b?-4ac=0?方程有兩個相等的實根。

△=b?-4ac<0?方程無實根（有兩個虛根）。

“?”（方程根的判定）是由量變引起質變的過程。

“?”（方程根的性質）是由質變引起量變的過程。

判別式△=0是引起根變化的臨界點，判別式△由正→0→負，方程的根由不等二實根→相等二實根→無實根（虛根）。反之亦然。

2.在討論圓和圓的位置關系時，就借助于兩圓的圓心距d與兩圓半徑R﹑r和、差的關系（R≥r）進行變化。

d﹥R+r ?兩圓外離 d=R+r ?兩圓外切 R-r

d=R-r ?兩圓內切 0≤d

其中d=R+r是引起質變的臨界點。

同樣，點和圓的位置關系，直線和圓的位置關系也體現了質量互變規律，掌握好它們才能更好地應用，進一步提高學生的邏輯思維能力。

3.圓錐曲線借助于e而改變：

01?曲線為雙曲線。

隨著e的量變，引起曲線的質變，而e=1是引起質變的臨界點。

㈡對立統一規律的體現

列寧指出：“統一物之分為兩個互相排斥的對立面以及它們之間的互相關聯。”⑤這就是“對立面的統一”。數學中的矛盾的雙方是對立的，并根據一定的條件可以轉化。縱觀數學史，整個數學發展的過程就是一個不斷對立統一的過程，沒有對立就沒有統一和發展。

（1）數式概念、運算的對立統一

1.每一種數（式）都有和它對立的數（式），各以和它對立的數（式）為自己存在的前提，并在一定條件下轉換。比如：整數（式）和分數（式）的對立與互化，并統一與分數（式）之中；實數和虛數的對立與互化，統一于復數之中等等。

2.數的運算方法的對立統一。比如：在加法和減法運算中，在引進負數和相反數后，它們可以互化；引進倒數后，乘法和除法可以互化；引進分數指數后，乘方和開方可以互化， ；在引進對數后，指數和對數同樣可以互化等等。

（2）各類方程的對立統一

一元一次、高次方程和多元一次、高次方程對立統一于整式方程中；整式方程和分式方程對立統一于有理方程中；有理方程和無理方程對立統一于代數方程中等等。

（3）數和形的對立統一

在引進數軸和笛卡爾直角坐標系后，實數對與平面上的點可以互化；直線和二元一次方程可以互化；曲線和方程可以互化等等。這樣代數和幾何即數和形既對立又統一了。數學教學中培養學生數形結合思考問題的能力是至關重要的。

（4）已知數與未知數的對立在一定條件下可以互相轉化

在解字母方程比如s=?（a+b）h時，用b﹑h﹑s表示出a，那么就把a看成未知數，s﹑b﹑h作為已知數，解關于a的一元一次方程；同樣可分別解關于b﹑h的一元一次方程。

在弄清已知數與未知數后，才能解方程（組），已知數與未知數的互化，在解方程（組）時，就是訓練學生這個辯證思想，從而有一定的科學觀和方法論。

（5）有關圖形面積、體積的對立統一

（6）微分與積分的對立統一

微分就是在某點處用切線的直線方程近似曲線方程的取值；定積分就是求曲線與x軸所夾得面積，不定積分就是該面積滿足的方程式。微分就是求導的過程，積分就是逆向求導，它們對立統一于極限中。

㈢ 在否定中求肯定求發展規律的體現

恩格斯指出：“否定的否定究竟是什么呢？它是一個極其普遍的，因而極其廣泛地起作用的，重要的自然、歷史和思維的發展規律”。⑥一切事物的發展都經歷“肯定—否定—否定之否定”的循環往復，螺旋式的上升和波浪式地前進。

全等三角形與相似三角形的性質與判定，在否定全等三角形的對應邊之比為1的前提下，才有相似三角形的產生，也才能制造出形形色色大小不等具有和諧美的相似圖形；余弦定理c?=a?+b?-2abcosC在否定勾股定理c?=a?+b?（∠C=90?）后，才產生了任意三角形已知兩邊及夾角求第三邊的一般公式；引入無理數后，實數對有理數進行了否定；虛數出現，復數對實數進行了否定等等。

在數學中“猜想”也是否定之否定規律的應用，牛頓說過，沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現。因此，在教學中，大膽猜想是必要的，“學生自己發現和提出問題是創新的基礎；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法。”⑦

總之，引導師范生充分挖掘數學教材中的辯證素材，培養師范學生辯證的數學思想是十分必要的，引導師范生用科學的方法去探求數學知識，進一步提高分析問題和解決問題的能力，這是當前中小學教學改革的一個主要方向，剛畢業的師范生也才能勝任數學教學工作，達到對中小學學生實施素質教育的目的。

參考文獻：

[1]張奠宙，李士锜，李俊.數學教育學導論[S] 高等教育出版社， 2003：4（154）.

[2]中華人民共和國教育部. 普通高中數學新課程標準（實驗） 2013：3.

[3]程曉亮，劉影.初等數學研究[S]北京大學出版社 2014 .12 ⑵.

[4][5][6]孫發祥， 葉敦平，朱寧康.馬克思哲學基本原理[S] 上海人民出版，1981：（105，80，125）

[7]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京師范大學出版社，2011：3.

作者簡介： 張學林（1968-），男，漢族，四川南部，教育碩士，中學高級，綿陽師范學院數學學科法教師，研究方向：基礎教育，數學學科教學法