由數系的發展淺談其與數學各分支的聯系

皮慶華

摘要：在高等院校數學專業的教學中，數學史具有很重要的意義。通過學習數學史，學生可以了解數學發展的歷史，掌握數學的內容、方法、意義，明確數學各個學科之間的聯系，進而更好的進行相關專業課程的學習。本文僅就筆者在數學史教學中的若干經驗，以數系的發展為出發點，淺談其與數學其他課程的若干聯系。

關鍵字：數學史；有理數；無理數；數系的完備化

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一、有理數和無理數

自然數及相應的加法運算，在公元前三千多年的古巴比倫文明和古埃及文明中就已經出現。但直到公元前600年到公元前300年的古希臘時期，數學才正式作為一個學科登上歷史舞臺。

古希臘人研究自然數的比值，即可公度比，產生了有理數的概念。而不可公度比，即所謂無理數，是由畢達哥拉斯學派的希帕索斯（Hippasus），在公元前5世紀發現并證明的。這個證明可以很容易的借助于勾股定理給出：

由上述證明 是不可公度比的過程，我們可以看到數學證明的嚴密性。

二、無理數的不同認知方式

當進行充分大的步驟的時候，誤差就可以充分的小（極限中的 語言）。

另外一種是借助于幾何進行等價認知。在數軸上取長度為1的區間，固定一個頂點，將另外一個頂點旋轉90度。連接旋轉前后的兩個點，構成一個等腰直角三角形。之后將斜邊旋轉回數軸。由此我們可以得到 。

以上兩種方法，反應了當代數學研究的兩種思想。一種思想是，通過分析的方法，借助于已有的理論，對未知的問題進行某種程度的估算；另外一種思想是，將問題轉化至某種良序的代數或幾何對象，借助該對象的性質來認知原始問題。例如，為了描述素數在自然數中的分布情況，由Gauss做了猜想，然后由1896年數學家哈達瑪（Hadamard）和普森（de la Vallée-Poussin）分別獨立證明的素數定理，即是將素數在自然數中的分布情況，描述為如上形式的漸近公式。

另外一個例子是費馬大定理的證明。德國數學家費馬（Fermat）在1673年提出如下的猜想當整數n >2時，關于x， y， z的方程 沒有正整數解。這個猜想最終由懷爾斯（Wiles）于1996年證明。懷爾斯證明該猜想的思路是，將原來的算數問題，通過某種情況下的谷山─志村─韋伊定理，轉化為橢圓模函數的某類等價命題，才給出了證明。

三、數系和群論

對于有理數域 的進一步擴展，聯系到代數多項式的解。將代數多項式的解添加入有理數中，按照域的定義，構成新的域，是為有理數域的代數擴張。

由此，如上所述，從數系的發展到有理數域的擴張，其牽扯到了近代數學的一門高度抽象的學科——抽象代數。古典數學的一些問題，如尺規作圖法能否三等分任意角、尺規作圖法能否得到任意正多邊形等問題，都是由抽象代數的理論來得到其結果的。

四、數系的完備化

我們從另一個角度來看有理數域——考慮有理數的完備化。我們知道，有理數與無理數一起，構成了實數。實數在整個數軸上是連續的，我們可以在實數上引入絕對值的概念。

在該度量下， 是泛函分析中所定義的賦范線性空間。其對應該度量（或者范數）的完備化空間（Banach空間），恰是整個實數域 。由此，可以將實數系 描述為有理數域 在賦值 下的完備化空間。

我們記 為有理數域 在如上p-進位賦值下的完備化。可以證明，對不同的素數 ， 是有理數域上的不等價的賦值；加上對應的絕對值 ，就構成了有理數域所有的不等價的賦值。

如同實數域 ，我們同樣可以對完備化后的 上定義拓撲、函數，建立Fourier變換等分析工具。某些有理數上的算數問題，即可以通過等價變化，轉化到完備化后的 及 上的問題，然后使用建立的分析工具進而求解。

結束語：從自然數出發，到有理數、無理數、實數。數系的發展與數學的各個分支，如分析、代數、拓撲、泛函等，均有深刻的聯系。希望借助于此問題的闡述，能夠對高校數學史的教學有所啟發。