數木棍還是上樓梯

摘要： 學前期和學齡初期是個體數學素養生成與發展的基礎階段，此時良好的數學學習兒童是未來學習的必要基礎，能促進兒童認知發展。但是數學本身是一種具有方法論性質的科學，不注重培養孩子的數學意識和數學思維習慣、不引導孩子們去理解數字和加減背后的意義，而試圖一味的通過練習來促成孩子們熟練的加減技巧是不可取的。

數木棍還是上樓梯，現在看似區別不大的兩種數學啟蒙方式，實則可能會將孩子們引向喜歡理解創新和樂于聽話遵從兩個完全不同的發展方向，而機械記憶的過度練習更容易挫傷孩子們的內在學習興趣，因此小學初期的教師和家長不能不重視數學學科內在的的文化意義，并在此基礎上選擇適當的教學方法。

關鍵詞：數學文化 數字階梯 小學教育 啟蒙教育

中圖分類號：G623.5

一年級小學生入學已一月有余，孩子學校的數學教師在見面會上提出要家長們準備二十根小棍，以備進一步的數學加減法學習——這一要求當場震驚了許多人，一些家長小聲嘀咕，二十以內或十以內加減我家孩子早就會了，根本沒用過這東西，數小棍的方法也太落后了。

學習數學之初利用直觀教具展示以利理解的確是必要的，很多家長初教孩子數數和計算十以內加減時也多是就近取材，用手指頭或者其他的直觀物體。一年級上冊數學課本也有一些利用小棍、糖果做加減練習的例題，比如認識數字一時就在旁邊畫出一根木棒，或者一顆糖果；認識數字二時就在旁邊畫出兩根木棒，或者兩顆糖果；進行簡單的加減時，則用兩堆木棒分別代表兩個數字，由教師或者家長指導孩子數出總數。但問題在于，這些都是在孩子們初始接觸數學，還不能理解符號化的一二三四五是什么意義時使用的，而在大部分孩子都能理解數字的含義而只是運算還不夠熟練時再依靠這些實物來學習計算，將數的關系具體成一堆木棍和另一堆木棍，豈不是會促使部分孩子計算稍大點的數時“手指不夠數腳趾，腳趾不夠哭鼻子”？

與這件事情類似的是，幾周后時候這位數學老師又要求準備一包二加上三等于幾、九減二等于幾這樣的口算卡，要求孩子們每天讀兩遍直至這個學期結束——筆者沒有調查多少孩子按要求做了，反正筆者家孩子因為已經能比較熟練的口算百位數的加減，所以沒買也沒背過這些卡片。老師并未因此批評他，但孩子依然對數學課有意見，說“大部分同學都會了，老師還把那幾道題說來說去，我們都覺得數學課沒意思！”。

肯不厭其煩的對待落后一點的孩子，說明這是一位很負責任的老師。但是以如此單調的重復練習方式來對待不會或者不熟練的孩子，筆者認為并不是一種好辦法。

數學是一門抽象的學科，而符號化和嚴謹的邏輯推理是數學抽象的關鍵。雖然小學只是入門階段，但兒童學習數學的核心目的同樣在于培養理性精神和嚴謹的思維方式。而且正因為是在啟蒙階段，孩子們的的抽象邏輯思維剛剛開始萌芽，整體認知從無序向有序發展，此時良好的數學學習是兒童未來數學素養生成與發展的基礎。啟蒙時期能不能夠培養正確的數學思維能力和運用能力、養成良好的思維習慣，對兒童思維的敏捷性、靈活性、深刻性、獨創性發展都有著不可忽視的影響，對兒童今后的整體發展具有重要意義[1]。因此，小學數學學習不僅要求孩子們掌握基本的計算技能，更要求培養孩子們的抽象思維、推理能力、創新意識等，以便為其未來生活、工作和學習奠定重要的基礎[2]。

那么數小棍和背誦口算卡的方式有利于達到這個要求嗎？數數使用的手指頭或者木棍，實質類似于我國古代使用的算籌，并沒有完全符號化，而且操作中強調的是牢記法則和操作熟練化，對兒童的思維發展尤其是數學思維的發展，并無多大的促進作用。背誦口算卡則只是對記憶速度和準確性的訓練和推崇，往往導致很多孩子”知其然而不知其所以然“，出個單純的計算題回答的很準很快，改變一下語境變成簡單的應用題立刻一頭霧水不知怎么辦——這一點在很多小學生身上都不罕見。筆者家的小朋友幼兒園大班時已經能夠和鄰家的一年級小朋友搶答很多應用題，甚至有時可以為其解疑答難，但單純的計算題尤其是較大數字的加減口算則明顯速度落后，但經過一年的自然成長，現在他計算的速度和質量早已超出了一年級的教學要求，這也是數學老師在他并沒有準備小棍和口算卡的情況下“網開一面”不予追究的原因。

但筆者家的小朋友在既往數學學習的過程中也并未使用過小木棍和口算卡一類的教具，簡單的一加一、二加三等是在初步認識數字時用實物一邊學數數一邊加減慢慢理解掌握的；而認識和計算十以內、二十以內以內數字時筆者自制了如下圖所示的、介于直觀實物計算和完全符號化的豎式計算之間的數字階梯。

數字階梯的優點首先在于能夠一目了然符號化的數字之間的關系。因為它實質上是一種數形結合思想的運用，通過“以形助數”來結合抽象的數字符號和形象的階梯，可以直觀的比較抽象化的數字的大小多少，使問題簡單化。有些孩子數數能數到一百，卻不知道十和十五誰大誰小，誰多誰少；更多的初學加減的孩子，數數七根木棍再數數八根木棍，點數好幾遍才能分清哪個是七哪個是八，再排好隊看半天才能確認哪個多哪個少。而通過數字階梯來認識數，在學數數的同時很容易就能夠理解數字所代表的的大小多少，不用顛來倒去的折騰，兼具直觀與符號化的優勢。

同樣的，數字階梯也很便于用于理解相鄰數、偶奇數等數學概念。樓上樓下誰和誰是鄰居，誰住雙數層誰住單數層這種比喻很容易讓五至六歲孩子理解這些數學概念，甚至負數的概念通過數字階梯也可以提前引入，五至六歲兒童可以很輕松的理解掌握。

數字階梯最大的的優勢顯示在二十左右的加減法中。在數字一至五的加減計算中，數階的優點尚不明顯。因為總和小，直觀的幾顆糖或木棒數起來并不需要多長時間，而且這個階段實物更便于他們的理解。但在進入數字十左右的認識尤其是二十左右的認識和加減學習時，數字階梯對數字之間關系的顯示更加直觀簡潔，也更符合數學本身的邏輯思想。譬如九加三，用一般教材上顯示的數數法，很多孩子要從一開始一直數到十二，而用數字階梯，我們可以引導孩子直接從九往上數三個數，看到的就是十二；再比如十三減五，用原來的數數法，很多孩子要從十三根棍子中取出五根，再數出剩下的數量，不僅需要的時間長，還因要數的數量多容易出錯，而運用數字階梯，只需要從十三往下數五個，就可以確定得數為八。在這個過程中，運用數字階梯進行計算的優點不僅在于計算結果的正確性與計算的快捷性，更重要的是數木棍是一種直觀情境學習，類似于最原始的算籌運用。而數字階梯則已進入符號化和邏輯推理階段，是數學思想的啟蒙運用，這對于兒童個體的思維能力發展是一種質的促進，對其今后的發展有著難以預期的積極作用[3]。

數字階梯和算盤在構造排列上有一定的相似度，但不同的是算盤仍然選擇了以實物代表數字，不僅數數時仍需直觀物體到符號化之間轉換，加減計算時同樣不如數形結合緊密的的數字階梯更明了，更能解釋數字間的邏輯關系。而且數字階梯的運用只是為了便于理解數的關系，作為數數計算與列豎式計算之間的一個過渡階段，在兒童進入豎式計算學習之后就可以放棄了，因為豎式計算更為明確的揭示了數字之間的十進制關系，并且已經進入完全的符號化。而算盤的使用則容易使部分教育者再次陷入過于強調口訣記憶和技能程序化的泥潭。

口算卡的誦讀則屬于單純的記憶練習問題。首先沒有結合對數字和加減法實際代表意義的深入理解，單純的要求誦讀實質上就是一種機械記憶而非有意義的學習，練習效果很難持續提高和突破。從要求準備口算卡到目前已有一個多月，每日誦讀的任務還沒有叫停，這就從側面證實實際收效并沒有達到熟練或者比較熟練的預期要求，因此很難排除這些每日誦讀的孩子并不真正理解數字符號和加減口訣意義的可能。

其次，如果孩子確實理解了數字本身和加減所代表的內在含義后，正常的課堂練習已基本可以滿足孩子們的練習需要，稍微落后一點的孩子也完全可以通過少量漸進的練習來促進記憶。尤其是如果孩子能夠正確回答或判別情境問題里的數量關系，那么偶爾的計算錯誤、不熟練是完全可以容忍的。因為孩子從理解到表現出完全掌握會有一個延遲反應的過程，隨著時間的推進、練習次數的逐步累積會逐步好轉，完全沒有必要要求孩子們一再練習誦讀甚至要求倒背如流。這不僅不再是高效的、有效的學習，而且還會挫傷孩子們的內在學習興趣，使有趣的數學學習變成一種枯燥的折磨。

作為人類科學技術進步的基礎，數學是一種具有方法論性質的科學，數學學習的核心不在于養成熟練的演算技巧，而是養成數學意識和數學思維習慣。學前期和學齡初期是個體數學素養生成與發展的基礎階段，此時看似區別不大的數學啟蒙方式，實則影響內隱而長效，可能會將孩子們引向完全不同的發展方向。一個人較長一段時期內甚至一生是以熟練、快捷、準確的記憶水平而自豪，還是以具備理性精神，擁有發現問題、理解問題、解決問題的創新能力而自豪；是以完美的遵循前人固有的規則、服從權威為榮還是樂于探索、以尋求真理為樂[4]，往往在這一時期已經形成隱形的框架，以認知結構的方式關鍵性的影響此后的學習。

“為什么我們的學校總是培養不出杰出人才？”，如此沉重的問題自然不能歸咎與小小木棍和口算卡，然而管中窺豹，部分教師和家長僵化的思維和落后的教法，確實在很多時候成了孩子們發展的禁錮。起點差之毫厘，終點去之千里。是以入學之初，教師和家長更應該既了解孩子們的真實發展水平，又理解數學學科的文化意義，并在此基礎上選擇適當的教學方法，見微知著、防患于未然。

參考文獻：

[1]王憲昌，劉銀萍. 也談數學文化與數學教育的關系——兼與張楚廷先生、黃秦安先生商榷[J]. 數學教育學報，2002，03：36-39.

[2]義務教育數學課程標準（2011年版）.[EB/OL].http：//www.pep.com.cn/xxsx/jszx/xskcbj/.2012，02，21 .

[3]郝連明，劉鵬飛，徐乃楠. 中西方數學價值觀差異及其影響——兼論中國古代籌算衰退的原因[J]. 吉林師范大學學報（自然科學版），2013，02：154-156.

[4]孫芬，詹紫浪. 數學啟蒙教育對數學思維發展的影響[J]. 數學教學研究，2010，05：49-50+59.

作者信息：寇文青.（1975），女，（漢），籍貫河南濮陽，助理館員，教育學碩士，研究方向：教育社會學