例談關于an與Sn等式的三種轉化方式

戴少平

內容摘要：在高考數(shù)學全國卷中，an與Sn的關系是高頻考點，一定要處理好；介紹an與Sn關系的三種轉化方式及兩種策略，并結合例題說明Sn的等式、通項an、關于Sn的遞推公式、數(shù)列{an}的遞推公式之間的相互轉化。

關鍵詞：轉化方式、Sn的等式、通項an、關于Sn的遞推公式、數(shù)列{an}的遞推公式

在高考數(shù)學全國卷中，數(shù)列是重要的考查內容之一。在這部分內容中，考查數(shù)列{an}的通項 與前n項和Sn的關系（ ）的頻率很高，一定要處理好。下面通過幾個例子，介紹下an與Sn關系的三種轉化方式及兩種策略。

轉化方式（一）：Sn的等式→數(shù)列{an}的通項公式

例1、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且 ，求數(shù)列{an}的通項。

解：由 得， ，

當 時， ；

當 時， ，

綜上所述，數(shù)列{an}的通項公式為

總結，關于Sn的等式轉化成數(shù)列{an}的通項公式。

轉化方式（二）：Sn的等式→數(shù)列{an}的遞推公式→數(shù)列{an}的通項公式（→求出Sn）

例2、已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn且 ，求通項。

解： 時， -------（1） ------ （2）

（1）-（2）得

即

∵各項均為正數(shù) ∴ 即

∴數(shù)列{an}為公差為1的等差數(shù)列

n=1時， （舍去） ∴

總結，利用 消去Sn，將Sn的等式轉化成數(shù)列{an}的遞推公式，接著用迭加法、迭乘法、構造法等求出數(shù)列{an}的通項公式；如果有需要，再用公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和法、倒序相加法求出前n項和Sn。

轉化方式（三）：Sn的等式→關于Sn的遞推公式→求出前n項和Sn（→求出an）

例3、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn， ， ，

（1）求證數(shù)列 為等差數(shù)列；（2）求前n項和Sn。

（1）證： 時，

= = =2

數(shù)列 為公差為2的等差數(shù)列

（2） = + =

總結，利用 消去an，將Sn的等式轉化成關于Sn的遞推公式，接著用構造法等求出Sn（大多數(shù)情況下題目會提示如何構造）；如果有需要，再用 或已知條件求出通項an。

（策略一）：一般來說，題目所求是關于通項an的，可采取轉化方式（二），如例4和例5；題目所求是關于前n項和Sn的，可采取轉化方式（三），如例6；

例4、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且所有項都不為0，a1=1， ，

求證： 。

例5、已知數(shù)列 的前 項和為Sn， ，求通項 。

例6、已知數(shù)列 的前 項和為Sn， ， ，試問數(shù)列 是什么數(shù)列，并求Sn。

（策略二）：有很多情況，（二）（三）兩種轉化方式都可用，如例7；有的情況下，所求是關于通項 的，卻要采取轉化方式（三），如例8。

例7、已知數(shù)列 的前 項和為Sn， ， ，求通項 。

解法一： 時， -------（1） ------ -（2）

得 即

數(shù)列 從第二項起為公比為2的等比數(shù)列

時，

解法二： 時， 即

數(shù)列{Sn}從第二項起為公比為2的等比數(shù)列

時，

數(shù)列{Sn}為公比為2的等比數(shù)列

=

時，

例8、已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn， ，求通項an。

分析： 時， -------（1） ------ -（2）

得

再用構造法求通項an，很難，所以此題不采取轉化方式（二）。

解：變形為

時， 將 代入上式

數(shù)列 為公差為1的等差數(shù)列

時，

總之，所采取的轉化方式解決不了問題，可以換種處理方式看看。平時做題，試著用兩種轉化方式解題，可以提高計算能力及分析判斷的能力，更可以培養(yǎng)逆商。