橢圓上四點共圓充要條件的一種簡易證明方法

楊經宇

筆者最近在考試和高考復習中碰到幾道圓錐曲線四點共圓相關的題目，現擇其充要條件這個命題進行證明。只有掌握了這個最基本的命題，其他問題也就迎刃而解。

命題： 橢圓四點共圓的充要條件是該四點連接四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中，任一對直線中的兩條直線傾斜角互為補角 。

證明：設橢圓為：mx?+ny?=1，（mn≠0）

A、B、C、D依次為曲線上的四點，兩組對邊為AB/CD、BC/AD，兩條對角線為AC/BD，三對直線中任一對直線方程設為：

y=k1x+b1 （k1≠0）， y=k2x+b2 （k2≠0），

則過任意一對直線與橢圓的4個交點的二次曲線系方程為：

mx2+ny2-1+λ（y-k1x-b1）（y-k2x-b2）=0 （λ為參數）

整理得：

（m+λk1k2）x2+（n+λ）y2-λ（k1+k2）xy+λ（k1 b2+k2 b1）x-λ（b1+b2）y+

λb1 b2-1=0 ①

（Ⅰ）充分性證明：

當三對直線中任一對直線的傾斜角互補時，k1+k2=0，則方程①變為：

（m+λk1k2）x2+（n+λ）y2+λ（k1 b2+k2 b1）x-λ（b1+b2）y+λb1 b2-1=0

令 則：

即必存在λ0= ，使得方程①為圓的方程，

故A、B、C、D四點共圓；

（Ⅱ）必要性證明：

當A、B、C、D四點共圓，則方程①不應含有交叉項xy，

故 -λ（k1+k2）=0， ∴ k1+k2=0，

即三對直線中任一對直線的傾斜角互補。

由（Ⅰ） （Ⅱ）知，上述命題成立。

同理，可以證明雙曲線四點共圓的充要條件也是該四點連接四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中，任一對直線中的兩條直線傾斜角互為補角。

利用這一命題，在做題時可以節省很多時間。如：武漢市2016年2月高三調考的數學選擇題中曾出現一道題（給出的標準答案是先證明A、B、C、D四點共圓，略顯復雜）：

設直線y=3x-2與橢圓Г： =1交于A、B兩點，過A、B的圓與橢圓Г交于另外兩點C、D，則直線CD的斜率k為（ ）。

A.- ；B.-3 ；C. ； D.-2；答案：B

參考文獻：

[1]張乃貴.圓錐曲線上四點共圓充要條件的研究[J].數學教學 2012，7.

[2] 田富德 陳琛. 圓錐曲線中一個四點共圓性質[J].中學數學研究 2014，4.

【摘要】橢 圓上四點共圓的充要條件是該四點連接四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中，任一對直線的傾斜角互為補角。本文用較簡單的方法對這一命題進行了證明。恰到好處地利用這一命題，會節省考試中的寶貴時間。

【關鍵詞】 圓錐曲線； 四點共圓；充要條件； 高考復習；

個人簡介： 男，1997年10月出生，湖北省水果湖高三學生，數學課代表。自幼愛好數學，喜歡對一些數學問題進行探究。