直線與圓位置關(guān)系的解題教學(xué)

馮慧敏++袁麗婧

[摘要]在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于概念的的獲得、定理的運(yùn)用通常通過(guò)解題來(lái)實(shí)現(xiàn)。為促進(jìn)學(xué)生解題能力的形成，教師在實(shí)際教學(xué)中要善于運(yùn)用解題思想進(jìn)行教學(xué)。本研究利用波利亞的“怎樣解題表”探究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以期對(duì)教育者們有有一定的啟示作用。

[關(guān)鍵詞]解題教學(xué)；波利亞；啟發(fā)性

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6

波利亞的《怎樣解題》以注重研究數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程為特色，在解題方面是數(shù)學(xué)啟發(fā)法現(xiàn)代研究的先驅(qū)。波利亞認(rèn)為學(xué)生不需要獲得解決所有問(wèn)題的萬(wàn)能方法，他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，期望學(xué)生在分析解題的過(guò)程中形成自己的模式，以便在以后的解題過(guò)程中可以運(yùn)用。根據(jù)之前成功的的模式和方法，波利亞總結(jié)出了一份“怎樣解題表”，表中將解決問(wèn)題分為四個(gè)階段：

首先，我們必須了解問(wèn)題，我們必須清楚的看到要求的是什么？

其次，我們必須了解各個(gè)項(xiàng)之間有怎樣的聯(lián)系？未知數(shù)和數(shù)據(jù)之間有什么關(guān)系？為了得到解題的思路，我們應(yīng)該制定一個(gè)具體的方案。

再次，實(shí)現(xiàn)我們的計(jì)劃。

最后，回顧所完成的解答，對(duì)它進(jìn)行檢查和記憶。

直線與圓的位置關(guān)系這一內(nèi)容，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想.首先，直線與圓的位置這一幾何特征，是通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)和直線、圓的方程來(lái)研究，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.其次，從本節(jié)課知識(shí)的研究過(guò)程來(lái)看，由“幾何問(wèn)題（位置關(guān)系）”到“代數(shù)問(wèn)題（坐標(biāo)、方程、點(diǎn)到直線的距離公式、聯(lián)立方程組等），再到“幾何問(wèn)題（分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義）”，充分體現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”，再由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化過(guò)程，是轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用.本研究中，教師借助《直線與圓的位置關(guān)系》的教學(xué)對(duì)解題表中的四個(gè)階段進(jìn)行詳細(xì)闡述，以供參考。

問(wèn)題：一個(gè)小島的周?chē)泻芏喟到福到阜植荚谝孕u為圓心，30千米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)。現(xiàn)在，小島位于輪船正西70千米處港口位于小島正北40千米處，如果輪船沿直線回港口，是否會(huì)觸礁？

一、弄清題目

師：在這個(gè)問(wèn)題中，已知條件有哪些？要求的問(wèn)題是什么？

生：已知條件是小島和輪船，小島和港口的相對(duì)位置及暗礁的分布區(qū)域，要求的是輪船直線返回會(huì)不會(huì)觸礁。

師：怎么判斷輪船會(huì)不會(huì)觸礁？

生：看輪船的航線與暗礁所在的圓形區(qū)域有沒(méi)有交點(diǎn)，若有交點(diǎn)則會(huì)觸礁，若無(wú)交點(diǎn)則不會(huì)觸礁。

二、擬定計(jì)劃

師：這就轉(zhuǎn)化為了判斷直線與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題，但是這道題里沒(méi)有具體的點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的方程，你能把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言嗎？

生：建立以小島為中心的直角坐標(biāo)系，取正北方向?yàn)?軸的正方向，正東方向?yàn)?軸的正方向，則可以得到港口的坐標(biāo)為 ，輪船的坐標(biāo)為 ，圓的方程即為 。

師：那我們?cè)趺磁袛嘀本€與圓有無(wú)交點(diǎn)呢，我們之前解決過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題沒(méi)？

生：前面學(xué)兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，聯(lián)立兩直線的方程，看有無(wú)公共解，若有，則有交點(diǎn)；若無(wú)，則無(wú)公共點(diǎn)。

師：我們這里要聯(lián)立哪些圖形的方程？

生：輪船航線所在的直線方程和暗礁所在圓形區(qū)域的方程。

師：我們的已知條件是否充分，若不充分，還缺少什么？你能求得缺少的條件嗎？

生：已知條件不充分，缺少航線所在直線的方程，但是我們可以通過(guò)輪船和港口的位置獲得所需直線的方程。

師：很好，有了直線和圓的方程之后，聯(lián)系起來(lái)，我們就可以根據(jù)公共解的有無(wú)判斷直線和圓的位置關(guān)系了，這是我們?cè)O(shè)想的計(jì)劃。

三、執(zhí)行計(jì)劃

生：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，已知直線過(guò)點(diǎn) 和 ，則可以得到直線的方程為： ，聯(lián)立直線與圓的方程：

求解即可。

四、回顧

師：你能從其它角度驗(yàn)證你的答案是否正確嗎？

生：我們還可以求圓心到直線的距離，根據(jù)距離與半徑的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系。

師：很好，這位同學(xué)從幾何的角度對(duì)這個(gè)問(wèn)題做了處理，這兩種方法都是可行的，同學(xué)們可以課下進(jìn)行檢驗(yàn)兩種方法做出的結(jié)果是否相同。同學(xué)們思考一下，若再碰到判斷圖形是否相交的問(wèn)題，我們?cè)鯓舆M(jìn)行解決？

生：求出圖形的解析式，聯(lián)立起來(lái)，看是否有公共解即可。

波利亞解題表中最重視的是對(duì)學(xué)生思維的啟發(fā)，主張?zhí)K格拉底的產(chǎn)婆式問(wèn)答法。教師在教學(xué)過(guò)程中，不要基于表達(dá)自己的想法，要盡可能的使學(xué)生表達(dá)他們的想法。在這堂課中，教師使用的語(yǔ)言主要為提示語(yǔ)，如：已知條件有哪些？我們之前解決過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題沒(méi)？這些提示語(yǔ)的使用實(shí)際上是使解題者自我反思，自我詰問(wèn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣和反思習(xí)慣。因此，這種教學(xué)方法，無(wú)論是對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，還是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力都具有重要的意義。

參考文獻(xiàn)

[1]波利亞.怎樣解題[M].科學(xué)出版社，1982.

[2]施良方，崔允漷.教學(xué)理論：課堂教學(xué)的原理、策略與研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，1999.