淺談高中數學中的變形技巧

梁文富

摘要：在解決數學問題中，常常要對給出的式子進行變形而對式子的變形沒有統一的規定，一個式子有時可從不同方向進多種變形，選擇怎樣的方向變形則因題而異，技巧性非常強。雖然式子的變形沒有統一的規定，但是對同類問題有一定的規律和技巧，需在平時多總結方法。高中數學中基本不等式、三角函數的應用較多，本文主要對其中常用的變形技巧進行簡要小結和分析。

關鍵詞：變形技巧 基本不等式 三角函數

【中圖分類號】G633.6

變形技巧是解決數學問題的重要基礎，這種變形能力的強弱直接關系到解題能力的發展。我們對式子變形實質上是為了將式子轉化為可解決問題的某種形式，為下一步解決問題做準備。變形屬于技能性的知識，其中存在著一定的技巧和方法，需要人們在學習和解題的實踐中反復提煉才能把握其技巧，以至在解題中靈活應用。下面介紹基本不等式、三角函數變形中常用的變形技巧。

1、基本不等式的變形技巧

在高中數學中多應用基本不等式來求函數的最值、值域等，在解題過程中對已知條件給出的式子靈活變形使基本不等式出現積（或和）為定值是解決問題的突破口。常用的方法為拆、添、配湊、代換，現就常用技巧給以歸納。

（1）拆、添、配湊

在解決與不等式相關的問題中，拆、添、配湊有各自不同的方向和技巧但往往又是緊密相連的，拆、添常常為配湊做準備。拆常數：將不等式中的某個常數進行拆分成題中所需的常數。拆系數：將不等式中某些項的系數進行拆分。拆常數或系數多為配方創造條件。拆項：將不等式中的某些項進行拆分，為使用基本不等式創造條件。添倍數：不等式的左右兩邊添上倍數（注意符號），為配方創造條件。添式：在不等式的兩邊添上一個代數式，為使用基本不等式創造條件。

例1、x>3，求函數 的值域。

分析：添常數將 湊成含基本不等式結構的式子

例2、已知 ，則 ，求函數最小值。

分析：本題已知函數式為分式看似無法使用基本不等式，對函數式進行配湊變形再分離便可構造出基本不等式。

，

技巧點評：在求分式型函數的最值中常用配湊的變形技巧，可按由高次項向低次項的順序逐步配湊。通過拆、添常數，逐步配湊基本不等式并分離出一個常數，這是分式函數求值域常用的方法。在解題過程中常常需要采用“拆項、補項、配湊”等變形技巧找到定值，再利用基本不等式來求解，使得復雜問題轉化為簡單的問題。

（2）常值代換

這種方法常用于如下兩類題型

①“已知ax+by=1（a、b、x、y均為正數），求1x+1y的最小值.”

②“已知ax+by=1（a、b、x、y均為正數），求x+y的最小值”

例3、若 且滿足 ，求x+y的最小值。

分析：結合問題和已知條件進行“1”的代換 可將問題轉化為求含有基本不等式結構 ，接著可利用基本不等式求函數最值。

技巧點評：通過配湊“1”并進行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式能巧妙地解決問題。利用基本不等式求函數最值時，還需注意“一正、二定、三相等”，通過變形技巧找到定值，若和定則積最大，若積定則和最小。

2、三角函數的變形技巧

高中階段三角函數與初等代數、初等幾何緊密聯系，是初等函數的重要部分。解決三角函數求最值問題常常要對三角函數式進行靈活的變形，而其變形主要有三個基本方向一是看角、二是看函數名稱、三是看結構特征。除此之外，我們還常常結合代數的變形技巧和構造法，為三角函數的變形創造一定的條件，現就常用技巧給以歸納。

角的變換

在三角函數的求值、化簡與證明題中，函數式常常出現較多的不同的角，但這些角又有一定的聯系。解題過程中分析條件與結論中角的聯系，進行三角函數變換 主要是“消除差異，化異為同”。根據角與角之間的和差、倍半、互余、互補的關系，運用角的變換能有效解決問題。

例4、已知 ，求證： 。

分析：可以考慮將條件中的角 和 配湊成求證結論中的角 ，即 ， ，再利用三角函數和差關系解決問題。

函數名稱的變換

題目中若出現不同名稱的三角函數，這就需根據同角三角函數關系式或誘導公式將異名的三角函數化為同名的三角函數，達到“消除差異，化異為同”的目的。函數名稱的變換中最常見的就是切割化弦。

例5 、已知 ，試用 表示 的值。

分析：將已知條件中“切化弦”將原式轉化為關于 的式子即 。

（3）常數的變換

在三角函數的、求值、證明中，有時需要將常數轉化為三角函數，或將三角函數轉化為常數，從而構造所需的函數式。例如常數“1”的變換有： ， 以及一些特殊角三函數值等等。

例6、求函數 的最小正周期，最大值和最小值。

分析：由所給的式子 可聯想到

（4）冪的變換

對于一些次數較高的三角函數式，一般采用降冪的方法處理，達到化簡的目的。而降冪并非絕對，有時也常需要對于無理式 用升冪處理化為有理式。

（5）公式的變形與逆用

高中教材中給出每一個三角函數公式的基本形式，但在解題的過程中往往要對基本公式變形后加以應用，有時也需逆用公式。順公式較容易，而逆用公式較困難，因此要有逆用公式的意識和思維。這要求我們既要熟悉基本公式又要對其變通形式有所了解。

三角函數式的恒等變形是學習三角函數和其他數學知識的重要基礎。三角函數式的恒等變形常應用于化簡三角函數式，求三角函數式的值，證明三角恒等式等。三角函數式恒等變形的理論依據是代數式恒等變形的一般方法和法則，與三角函數式的變形公式。變形中還需注意符號的變化，以及三角函數定義域和值域的范圍。

參考文獻

[1] 張振繼.利用基本不等式求最值十大變形技巧.中學數學雜志，2010（3）

[2]李在貴.淺議三角函數變換的技巧[J]青年時代，2014（20）