淺析輔助函數的構造方法

吳秀才++程慧燕++蔣文麗

摘要：微分中值定理是高等數學的一個重要內容，它是架起函數與導數的一座橋梁，在很多方面都有應用，其中證明區間中值點的存在性是非常重要的應用，也是歷年考研經常出現的題型之一.這類題需要用構造輔助函數的方法，本文通過對例題的分析，總結出常見的構造輔助函數的方法.

關鍵詞：微分中值定理；證明；輔助函數；構造方法

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引言

輔助函數構造法是數學證明中廣泛使用的一種很有用的方法，輔助函數是依據數學問題的題設及相關信息而構造的函數，它能將比較抽象的數學問題轉化為比較容易解決的輔助函數問題，構造輔助函數是一種創造性的思維過程，具有很大的靈活性，下面結合例題總結幾種構造輔助函數的方法.

一、構造輔助函數的方法

利用微分中值定理證明中值點存在性問題時，關鍵是根據待證結論的結構特征來構造輔助函數，構造輔助函數最基本的思想就是尋求原函數，而尋求原函數的方法又因所證結論結構的不同而不同.

1. 常數觀察法

這種方法是根據要證結論的常數部分揣測輔助函數，適用于常數規律性強的題目.

例1 函數 在 上連續，在 內可導，證明：在 內至少存在一點 ，使得 .

分析：觀察右端常數部分是函數 在區間 兩端點函數值的差與區間長度 之商，聯想到對函數 使用拉格朗日中值定理.另外本題也可從左側表達式尋找原函數.

參考文獻：

[1]拉格朗日中值定理證明中輔助函數作法的推廣及應用.郭芳萍.山西財經大學學報[J].2006.4.

[2]同濟大學數學系.高等數學第七版[M].高等教育出版社.2014.7.