“定值”的探索

李東華

摘要：幾何是數學知識中的一個重要學習內容。幾何的學習有利于培養學生思考問題、探索問題的能力，也能提高學生的思維能力。因此文章對幾何內容中的定值為對象進行了研究，總結了幾種求解定值的特殊方法，以此提高學生的解題能力，提高對幾何的學習興趣，從而提高數學教學質量。

關鍵詞：幾何；定值；解題方式

G633.6

每一個學科的教學，主要目的都是為了提高教學質量，拓寬學生的素質，數學的教學也不例外。其中心是注重對學生發現性思維和整理性思維能力的培養，讓學生遵循接受知識的規律，經過觀察，思考，探求，辨析，歸納的過程，達到積累知識，進一步發展的目的。以下是學習幾何定值中的探索。

在學習幾何證明題中，幾何定值問題可以培養學生的興趣。如今是怎樣去探討這類問題的解法呢？現有一類定值問題，可以先確定定值，一般地是從特殊情況去發現和歸納的。具體來說可以從三種不同的情況去探求這個定值。第一是利用變量在圖形中的極限位置去探求定值：什么是變量在圖形中的極限位置呢？如假定某動點在某線段上運動，則此動點運動到線段端點時就不能向外運動了，這時線段的端點就是動點運動的極限位置了。例如：（圖1）等腰三角形ABC底邊上的一點D到兩腰的距離之和DE+DF為一定值，這時D點是動點，它在線段BC上運動。不論動點D運動到線段BC的那個位置上，DE+DF都保持不變，是一個固定的值。那么它是怎樣得出這個定值的呢？我們先把動點運動到它的極限位置B（或C），則DE+DF變為BG（即一腰上的高），BG就是所要求的定值了。然后再就一般情況給予證明，問題就得到解決了。例如： （圖2）“由正三角形內任意一點，到三邊引垂線，則此三垂線段之和為一定值。”那么這個定值是什么呢？“這個定值是一邊上的高。”為什么呢？“因為正三角形內任一點D它運動時的極限位置就是三個頂點，這時三條垂線段的和就變成為一條邊上的高了，這條就是所求的定值。”這是定值的第一種方法。

第二種方法呢？第二種方法是利用變量在圖形中的特殊情況來探求定值。為什么不利用極限位置呢？因為有時動點運動并沒有極限位置，只能用特殊位置來求解了。例如：（圖3）兩平行線L1與L2分別與已知圓相切于A，B，作已知圓的任一切線L3與L1，L2分別交于C，D，證明AC，BD是一定值。這時切線L3就沒有極限位置了（因為圓是平滑的曲線）。此時，我們可以找它的特殊位置來求定值。那么這個特殊位置在什么地方呢？我們可以把切線運動到與直徑AB平行的位置，這時AC=BD=r，∴AC·BD=r2就是所求的定值。下面一道題也是用類似方法求定值：例如：（圖4）有同心圓兩個，大圓的直徑為AB，小圓上有一動點p，則PA2+PB2為一定值。這個定值是什么呢？如何去找到呢？定值是PA2+PB2=20C2+20A2，即當動點P運動到C這一特殊位置時，PA=OA-OC，PB=OC+OB=OC+OA，∴PA2+PB2=（OA-OC）2+（OA+OC）2=2OA2+2OC2，而OA，OC為大圓與小圓的半徑，當然為定值了。

第三個方法是，利用變量與常量的對應關系來探求定值。例如：（圖5）：兩圓相交于A，E，過A引直線交兩圓于B，C，過B，C分別作兩圓的切線相交于P，則∠P是一定值。這時不存在極限位置，特殊位置也不易找到。我們可以利用變量與常量間的關系來求定值，先從△PBC來看：∠P=1800-（∠1+∠3），但∠1=∠2， ∠3=∠4，

∴∠P=1800-（∠2+∠4）= ∠5+∠6，而∠5，∠6對著兩段定弧。

∴∠5+∠6是一個定值，即∠P是一定值。再例如：（圖6）二定圓相交于A，B兩點，過A引任一割線CAD，連CB，DB，若把問題特殊化，CAD剛好是一圓過A點的切線（C，A重合），則∠CBD就是另一圓的圓弧的弦切角，即兩圓過A切線的交角（定值）。作公共線弦AB，并過A作切線EF和GH，把∠CBD分成兩部分，由弦切角和圓周角定理知∠ABD=∠GAD， ∠ABC=∠EAC，但∠EAC=∠FAD，則∠CBD=∠ABD+∠ABC=∠GAD+∠EAC=∠GAD+FAD=∠GAF，因為無論割線CAD的位置怎樣變動，切線EP和GH的位置卻是固定的，即∠GAF是定角，故∠CBD是一個定值。

以上通過對定值的討論，探究了關于定值的特殊解題方式，然在實踐中，我們還要對一般情況進行證明，才算完成證題。通過對定值問題的探討，我們學習的是一種思維方式，以培養學生探索幾何問題的能力，拓寬學生的視野，提高學生學習數學的興趣為主要目的，為今后進一步的學習和創作打下良好的基礎。