關于分段函數不定積分求法的若干思考

李一帆

【摘要】分段函數是高等數學中比較常見的一種函數類型，其連續性、可導性以及原函數的存在性等方面問題的判定都較為復雜。本文主要通過舉例推算對分段函數不定積分的求法進行簡單研究，從而為分段函數不定積分的求解方法提供一定的參考。

【關鍵詞】分段函數；不定積分；求解方法

【中圖分類號】O172.2

1 引言

在高等數學教材中，分段函數是其中一種非常常見的函數類型。關于分段函數不定積分方面的問題，一直是研究者們普遍關注的一個重要問題。例如：對于在某個區間內的一個連續性的分段函數不定積分的求解方法，在實際求解過程中，往往會忽略分段點處所求原函數是否為連續函數的情況。例如數學課程中就有這樣一個比較經典的例子：

，

上述的求解方法乍看沒什么問題，但是卻忽視了分段點處所求原函數是否為連續函數的情況，由此，可將上述求解方法作如下更正：

對于一個函數而言，可導必連續，此時記C1=C，從而可得：C2= +C，進而有：

這里，雖然上述結果解決了原函數在x= 2kπ+ 處連續性方面的問題，但經過仔細驗證發現，原函數在x= 處不連續，分析再次出現錯誤的原因主要有二：（1）計算積分常數的方法不對。在實際計算過程中，應使用全部分段點來對積分常數加以確定，如果僅使用分段點來對積分常數進行確定，則無法保證所求得的原函數為連續函數。（2）不定積分表示方法有誤。由于被積函數存在無窮多段，而每段上積分常數均存在一定的差異性。所以，應使用與不定積分段數相同的常數來表示不定積分。

2 間斷點性質法

分段函數不定積分在求解時，應首先分別求解出函數在各個分段點處的不定積分，然后驗證一下被積函數在分界點位置是否具有連續性。如果所求得的不定積分連續，那么在包含該點的區間范圍內原函數應按照函數所具有的連續性，將積分常數求解出來即可。如果分界點為被積函數的第一類間斷點，那么在區間范圍內，原函數則不存在。下面主要分第一間斷點與第二間斷點條件下對分段函數的不定積分求解方法進行例證分析。

2.1 第一間斷點

例如， ，求解： .

該例屬于第一間斷點類型，由此可以根據第一間斷點的相關特點，作如下計算：

解： 在 以及（0，+∞）兩個區間內的原函數為：

根據分段函數 的已知條件可以得知，該函數在分界點x=0處是連續的，因此， 在x=0處也具有連續性，且有定義，從而可以得出如下結果：

， .

由上兩式可以得出， ，可記 ，則： .

所以，可得 解為：

2.2 第二類間斷點

分段函數 ，除了在分界點處不連續外，其他各點均連續，且分界點屬于第二類間斷點。如果在分界點處存在振蕩積分，那么由此分段函數所確定的原函數屬于連續函數。如果在分界點處不存在振蕩積分，那么由此分段函數所求得的原函數屬于不連續函數。下面通過舉例來說明此種情形下分段函數不定積分的求解方法：

例：已知分段函數： ，求 .

函數 屬于第二類間斷點的類型，因此可以采用如下方法進行求解：

解：由于x=0屬于函數 的第二類振蕩間斷點，但是 及 均存在（其中a>0），因此原函數為連續函數。因此，可求解如下不定積分：

其中， .

3 方程或方程組求解法

已知函數 為區間I上有n個分段點的連續分段函數，那么由此可以得到n+1個任意常數間的n個方程，通過求解方程或者方程組便能夠對任意常數間所存在的關系加以確定，從而求出不定積分。上述求解分段函數不定積分的方法被稱作為“方程法或者方程組法”。下面通過實例來闡述方程或者方程組法在分段函數不定積分求解中的應用。

例：不定積分：

解：當x≤-2時， =0；當x∈ 時， = ；當x∈ 時， = 。由此可以計算分段積分為：

由原函數在各個分段點的連續性可以得出如下算式：

， ， ， ，記：C1=C，則有： ， ， ， .

參考文獻：

[1]陳建莉，柳衛東，分段函數不定積分求法探討[J].高等數學研究2008.11

[2]喻德生，余英姿，關于連續分段函數不定積分的求法[J].高等數學研究2008.11

[3]張令元，張彬，分段函數的導數與不定積分[J].商丘職業技術學院學報2007.10