初中教學中的數形結合思想

劉杰

數形結合的思想方法，就是把數、式與圖形結合起來，利用問題中的數量關系和幾何圖形解決實際問題，數形結合是數學教學中重要的數學思想。如何讓學生在學習數學中形成數形結合的意識，形成數形結合的思想方法，從某種程度上來說可以決定我們數學教學的成敗。

一、數形結合是數學教學中十分重要的思想方法

“數形結合思想就是從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決方法（即以形助數），或利用數量關系來研究幾何圖形的性質，解決幾何問題（即以數助形）的一種數學思想”。數形結合的實質就是“就是將抽象的語言和直觀的圖形（幾何性質）結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化”。在解決有關問題時，數形結合方法所表現出來的思路上的靈活、過程上的簡便、方法上的多樣化是一目了然的。

初中是學生數學思維品質萌發及形成的初期，在各年級各階段，適當地滲透、運用數形結合思想，對學生的形象思維與抽象思維的形成、融合，以及對學生的邏輯思維的深化都有著重要的意義；同時對學習數學知識，深入淺出地、直觀地揭示知識的內涵，使抽象的數學知識變得形象生動、直觀具體，使學生感到易學、樂學，激發其求知欲也都有重要意義。因此，數形結合解題方法是初中生應掌握的一種重要思想方法，因而我們在平時的教學工作中，必須認真細致地運用和落實數形結合的思想方法，以逐步提高學生的數學思維水平和形象思維能力。

二、“數缺形，不直觀；形缺數。難入微”

可見數形結合的思想，就是研究數學的一種重要的思想方法，它是指把代數的精確刻畫與幾何的形象直觀相統一，將抽象思維與形象直觀相結合的一種思想方法。它能讓復雜的數學問題簡單化。

例如右圖，寬為50cm的長方形形圖案由10個完全相同的小長方形拼成，其中一個小長方形的面積為（ ）。

分析：根據圖中蘊含的長方形的長與寬的數量關系，可列出長與寬關系的二元一次方程組，進而求出每一個小長方形的長寬和面積。

解：設小長方形的長為xcm，寬為ycm，

幾何圖形在數學中所具有的最大的優勢就是直觀易懂，所以在談到“數形結合”思想時，就更偏好于“以形助數”的方法，利用幾何圖形解決相關不易求解的代數問題。幾何圖形直觀的運用于代數中主要體現在幾個方面：①利用相關的幾何圖形幫助記憶代數公式，例如：完全平方公式與平方差公式；②利用數軸及平面直角坐標系將一些代數表達式賦予幾何意義，通過構造幾何圖形，進而幫助求解相關的代數問題，或者簡化相關的代數運算。

三、逐步滲透數形結合的思想，培養學生用數形結合分析問題的意識。提高解決問題的能力

每個學生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結、刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的溫度，我們每天走過的路線可以看作是一條直線，教室里每個學生的坐位等。數學源于生活，合理利用生活中數學資源，把生活中的形與數相結合遷移到數學中來，在教學中進行數學數形結合思想的滲透，利用教材提供的每一個機會，把握好滲透的契機。如數與數軸，一對有序實數與平面直角坐標系，一元一次不等式的解集與一次函數的圖像，二元一次方程組的解與一次函數圖像之間的關系，一元二次方程與二次函數圖像的關系等，都是滲透數形結合思想的很好機會。

如教學七年級數學有理數和八年級實數這些內容時，利用數形結合來進行教學會取得可喜的教學效果。直線是由無數個點組成的集合，實數包括正實數、零、負實數也有無數個，因為它們的這個共陛所以用直線上無數個點來表示實數，這時就把一條直線規定了原點、正方向和單位長度，把這條直線就叫做數軸。建立了數與直線上的點的結合。即：數軸上的每個點都表示一個實數，每個實數都能在數軸上找到表示它的點，建立了實數與數軸上的點的一一對應關系，由此讓學生進一步理解了相反數、絕對值的幾何意義。建立數軸后及時引導學生利用數軸來進行有理數的比較大小，學生通過觀察、分析、歸納總結得出結論：通常規定右邊為正方向時，在數軸上的兩個數，右邊的總大于左邊的，正數大于零，零大于負數。讓學生理解數形結合思想在解決問題中的應用。為下面進一步學習數形結合思想奠定基礎。

結合探索規律和生活中的實際問題，反復滲透，強化數學中的數形結合思想，使學生逐步形成數學學習中的數形結合的意識，并能在應用數形結合思想的時候注意一些基本原則，如是由形確定數還是由數確定形，在探索規律的過程中應該遵循由特殊到一般的思路進行，從而歸納總結出一般性的結論。

四、學習數形結合思想，化抽象為具體，提高學生學習的興趣

在教學中滲透數形結合思想時，應讓學生了解，所謂數形結合就是找準數與形的契合點，根據對象的屬性，將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，就成為解決問題的關鍵所在。

數形結合的結合思想主要體現在以下幾種：①用方程、不等式或函數解決有關幾何量的問題；②用幾何圖形或函數圖像解決有關方程或函數的問題；③解決一些與函數有關的代數、幾何綜合性問題；④以圖像形式呈現信息的應用性問題。

數形結合思想的應用往往能使一些復雜的問題變得直觀，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了，將抽象的數學形象化。另一方面在學生學習過程中，可以激發學生學習數學的興趣。

數形結合的思想在教學中的應用，一方面，借助于圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，以獲得精確的結論。這種“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。

數形結合的思想是一種高層次的思維活動，是數學發現過程中的一種創造性思維。“觀察、歸納、猜想”型探索性問題，使學生以“數學家”的角色，置身于猜想、發現的情境之中，這類問題對開拓思維，培養創新意識和探索能力大有裨益。