淺談數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用舉例

鄧廷祥

相比較于小學(xué)數(shù)學(xué)而言，初中數(shù)學(xué)無(wú)論在知識(shí)的深度還是廣度上都有極大的提升，從以前單純的學(xué)習(xí)正數(shù)到現(xiàn)在的對(duì)數(shù)的擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，從單一的研究數(shù)的運(yùn)算到引入整式對(duì)式的作用的擴(kuò)展，從單一的認(rèn)識(shí)某一幾何圖形到詳細(xì)研究幾何圖形的性質(zhì)、運(yùn)用，增加函數(shù)、增加概率……

全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)建模提出了明確要求，標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“從學(xué)生以有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解析與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”在近年的中考題目中對(duì)這類題型也越發(fā)地偏重。

那么在初中數(shù)學(xué)中有哪些是數(shù)學(xué)模型是我們需要重點(diǎn)關(guān)注的呢？

一、“方程（組）”模型

現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在著數(shù)量之間的相等關(guān)系，“方程（組）”模型是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的最基本的數(shù)學(xué)模型，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更正確、清晰的認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界。諸如納稅問(wèn)題、分期付款、打折銷售、增長(zhǎng)率、儲(chǔ)蓄利息、工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、濃度配比等問(wèn)題，常可以抽象成“方程（組）”模型，通過(guò)列方程（組）加以解決

例1A、B兩地相距18公里，甲工程隊(duì)要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸送天然氣管道，乙工程隊(duì)要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸油管道。已知甲工程隊(duì)每周比乙工程隊(duì)少鋪設(shè)1公里，甲工程對(duì)提前3周開(kāi)工，結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成任務(wù)，求甲、乙兩工程隊(duì)每周各鋪設(shè)多少公里管道？

解：設(shè)甲工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道x公里，則乙工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道（x+1）公里。

依題意得：

解得x1=2，x2=-3

經(jīng)檢驗(yàn)x1=2，x2=-3都是原方程的根。

但x2=-3不符合題意，舍去。

∴x+1=3

答：甲工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道2公里，則乙工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道3公里。

二、“不等式（組）”模型

現(xiàn)實(shí)生活建立中同樣也廣泛存在著數(shù)量之間的不等關(guān)系。諸如統(tǒng)籌安排、市場(chǎng)營(yíng)銷、生產(chǎn)決策、核定價(jià)格范圍等問(wèn)題，可以通過(guò)給出的一些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的不等式問(wèn)題，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)加以解決。

三、“函數(shù)”模型

函數(shù)反映了事物間的廣泛聯(lián)系，揭示了現(xiàn)實(shí)世界眾多的數(shù)量關(guān)系及運(yùn)動(dòng)規(guī)律。現(xiàn)實(shí)生活中，諸如最大獲利、用料價(jià)造、最佳投資、最小成本、方案最優(yōu)化問(wèn)題，常可建立函數(shù)模型求解。

例2某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果，物價(jià)部門規(guī)定每箱售價(jià)不得高于55元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價(jià)格銷售，平均每天銷售90箱，價(jià)格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價(jià)x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售價(jià)x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式。

（3）當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

解：（1）y=90-3（x-50）化簡(jiǎn)，得y=-3x+240

（2）w=（x-40）（-3x+240）

=-3x2+360x-9600

（3）w=-3x2+360x-9600

=-3（x-60）2+1125

∵a=-3<0 ∴拋物線開(kāi)口向下

當(dāng)x=60時(shí)，w有最大值，又x<60，w隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=55時(shí)，w的最大值為1125元，

∴當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為55元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)1125元的最大利潤(rùn)

四、“幾何”模型

幾何與人類生活和實(shí)際密切相關(guān)，諸如測(cè)量、航海、建筑、工程定位、道路拱橋設(shè)計(jì)等涉及一定圖形的性質(zhì)時(shí)，常需建立“幾何模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決

五、“統(tǒng)計(jì)”模型

統(tǒng)計(jì)知識(shí)在自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)、人文、管理、工程技術(shù)等眾多領(lǐng)域有著越來(lái)越多的應(yīng)用。諸如公司招聘、人口統(tǒng)計(jì)、各類投標(biāo)選舉等問(wèn)題，常要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“統(tǒng)計(jì)”模型，利用有關(guān)統(tǒng)計(jì)知識(shí)加以解決。

六、“概率”模型

概率在社會(huì)生活及科學(xué)領(lǐng)域中用途非常廣泛，諸如游戲公平問(wèn)題、彩票中獎(jiǎng)問(wèn)題、預(yù)測(cè)球隊(duì)勝負(fù)等問(wèn)題，常可建立概率模型求解。

這些模型所內(nèi)涵的知識(shí)點(diǎn)在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中也是需要重點(diǎn)給學(xué)生講解，學(xué)生必須掌握的知識(shí)點(diǎn)。如果在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中將數(shù)學(xué)建模的思想融入到課堂上，學(xué)生學(xué)起來(lái)會(huì)更輕松，理解起來(lái)更容易，老師教起來(lái)也更得心應(yīng)手。