粘鋼加固RC梁非線性分析方法

劉廷濱，趙建昌，張家瑋，王作偉

(1.蘭州交通大學 甘肅省道路橋梁與地下工程重點實驗室，甘肅 蘭州　730070；2.蘭州交通大學 道橋工程災害防治技術國家地方聯合工程實驗室，甘肅 蘭州　730070)

梁底粘鋼作為鐵路橋梁加固補強及重載強化的重要方法之一，在橋梁加固中的應用越來越廣泛。各國研究者對粘鋼加固RC梁在各種作用下的正截面抗彎承載力和受力機理進行了很多理論分析、試驗研究和數值模擬，取得了諸多研究成果。劉祖華等[1]根據彈性梁理論和組合截面假定推導出了鋼板與混凝土梁之間的粘結剪應力和法向應力的解析解。高軒能等[2]基于平截面假定給出了粘鋼加固RC梁正截面承載力及抗彎剛度計算公式。王天穩等[3]通過試驗討論了不同卸荷情況下粘鋼加固RC梁的計算方法和試用條件。沈蒲生等[4]對加固過程中粘鋼用量的限值進行了試驗研究。 Hamoush等[5]對加固梁的失效模式進行了研究。Byung Hwan Oh等[6-7]建議進行粘鋼加固RC梁抗彎計算時應考慮鋼板剝離的影響。可見，現有成果主要以試驗研究為主，理論研究成果多以平截面假定為依據，線彈性階段分析居多，對鋼板與原鋼筋混凝土梁之間的粘結—滑移問題考慮不充分，對鋼板與原鋼筋混凝土梁之間的協同工作性能未能給出明確的數學表達式，分析方法未涉及加固梁的非線性受力階段。

本文將粘鋼加固RC梁視為由鋼板和原鋼筋混凝土梁組成的存在粘結滑移的組合梁，考慮鋼板和原鋼筋混凝土梁之間的粘結滑移，推導粘鋼加固RC梁非線性微分方程，給出粘鋼加固RC梁協調工作系數表達式，建立粘鋼加固RC梁截面承載力計算和變形計算的非線性分析方法，通過與試驗數據進行對比，驗證分析方法的準確性。

1　粘鋼加固RC梁微分方程的建立

將粘鋼加固前的鋼筋混凝土梁視為一個整體，假定原有受拉、受壓鋼筋與混凝土之間粘結良好不發生滑移；受力過程中鋼板與原RC梁之間的滑移是連續的、非間斷的行為；混凝土應力—應變關系采用Kent-Park模型[8]；鋼材應力—應變關系采用線性強化彈塑性模型[8-10]；鋼板與混凝土之間的粘結—滑移關系采用內聚力模型[9-11]。圖1為考慮鋼板滑移時粘鋼加固RC梁的正截面內力計算簡圖。圖中：s為鋼板與RC梁之間的滑移量；d為受壓區混凝土截面形心至受拉鋼板形心的距離；b1和b2分別為梁底和梁頂的寬度；FNsc為混凝土受壓區所受壓力；FNsp為鋼板所承受的拉力；Msc為混凝土受壓區承受的彎矩；FVsc為混凝土承受的剪力；M為截面總彎矩；FV為截面總剪力；h為混凝土梁高度；ht1為中性軸至混凝土梁底的距離；ht2為中性軸至混凝土梁頂的距離。

圖1　粘鋼加固RC梁正截面內力簡圖

由圖1可得截面內力的平衡條件為

FNsp=FNsc

(1)

FV=FVsc

(2)

M=Msc+FNspd

(3)

受拉鋼板與RC梁界面處的變形協調條件為

(4)

式中:uco，uz分別為鋼筋混凝土截面形心處的水平位移和豎向位移；εsp為鋼板應變。

粘鋼加固RC梁截面z點處混凝土的應變為

(5)

受拉鋼板應變為

(6)

式中：Esp為鋼板的割線模量；Asp為鋼板截面面積。

鋼板與RC梁界面處的滑移量s與鋼板承受的拉力FNsp之間的微分關系為

(7)

式中：K1為鋼板與RC梁之間的割線滑移剛度，表達鋼板與RC梁之間的粘結—滑移關系。

設沿梁長方向x位置、梁高方向第i區段混凝土截面上的正應力為σx(x,zi)，則該混凝土截面承受的壓力可表示為

(8)

式中，b(zi)為沿梁高方向第i區段梁的寬度。

該混凝土截面承受的彎矩可表示為

(9)

將式(5)分別代入式(8)和式(9)得

(10)

(11)

其中，

由式(10)可得混凝土截面形心處的應變為

(12)

定義FN為梁截面總的軸向力，則FN=FNsc=FNsp。

將式(12)、式(6)代入式(4)得

(13)

將式(12)代入式(11)得

(14)

將式(14)代入式(3)得

(15)

其中，

將式(13)代入式(15)得

(16)

其中，

將式(7)代入式(13)得

(17)

將式(15)代入式(17)可得以鋼板軸向拉力表達的粘鋼加固RC梁非線性微分方程

(18)

其中，

式中：ν2為軸向變形影響系數;K11為粘結—滑移約束剛度。

取ξ=x/L，L為梁的跨度，式(18)可改寫為

(19)

其中，

式中：λ為粘鋼加固鋼筋混凝土梁的特征值。

2　微分方程求解

2.1　雙集中荷載作用下的簡支梁

雙集中荷載F作用下的簡支梁計算簡圖如圖2所示。圖中ξ0為簡支梁支座與集中荷載加載點之間的距離與梁長之比。

圖2　雙集中荷載作用下的簡支梁

雙集中荷載作用下微分方程(18)的通解為

(20)

式中：A1，B1，A2和B2為積分常數。

將式(20)代入式(7)，得界面滑移量表達式為

(21)

(22)

(23)

將式(16)積分2次后得

(24)

式中：C1，C2，C3和C4為積分常數。

(25)

將ξ=1/2代入式(25)，得跨中撓度為

(26)

2.2　均布荷載作用下簡支梁

均布荷載q作用下的簡支梁計算簡圖如圖3所

圖3　均布荷載作用下的簡支梁

示。ξL為沿梁長度方向任意截面位置。

均布荷載作用下微分方程(18)的通解為

FN=Ash(λξ)+Bch(λξ)-

(27)

式中：A和B為積分常數。

將式(27)代入式(8)，得滑移量為

(28)

代入邊界條件ξ=0, 1時，s=0，得積分常數A和B。將積分常數A和B代入式(27)和式(28)得

(29)

(30)

將式(16)積分2次后，得

(31)

式中：C和D為積分常數。

代入位移邊界條件ξ=0, 1時uz=0，得積分常數C和D。將積分常數C和D代入式(31)得

(32)

式中：FN，1為ξ=1時梁截面的軸力。

當ξ=1/2時得跨中撓度為

FN，1ξ-FN，0(1-ξ)]

(33)

3　截面協調工作系數kb表達式的建立

文獻[3]考慮到不同卸荷狀態下粘貼鋼板與RC梁之間的協同工作問題，建議協調工作系數kb取值為0.90，該值為試驗建議值，尚無理論依據。文獻[2]通過試驗和理論研究得出了kb的取值隨梁相對受壓區高度變化的結論，并根據梁相對受壓區高度所處范圍，給出了kb的分段計算公式。該理論簡單實用，利于指導工程設計，但是忽略了在加載過程中，隨著鋼板所受拉力的不同，鋼板與RC梁之間的界面滑移性能必然不同，協同工作性能亦不同的事實。本文用考慮界面滑移時鋼板的拉力與不考慮界面滑移時鋼板拉力的比值FN/FN0表示截面協調工作系數kb。考慮界面滑移后鋼板的拉力見式(22)和式(27)。

不考慮粘結—滑移的鋼板拉力FN0等于界面滑移量為零時的拉力為

(34)

對于雙集中荷載作用下的簡支梁，其協調工作系數kb為

(35)

對于均布荷載作用下的簡支梁，其協調工作系數kb為

(36)

4　粘鋼加固RC梁正截面承載力和變形計算

圖4　粘鋼加固RC梁截面應變、應力

根據平衡條件得

(37)

(38)

當εc≤εco時

當εco≤εc≤εcu時

式中：εco為混凝土峰值應力時的應變。

式(37)和式(38)組成以εc，ht2為未知數的非線性方程組，其截面破壞條件為

(1)εc≤εu(混凝土極限壓應變)；

(2)s≤su(鋼板極限滑移量)；

通過迭代可求得εc，ht2。將εc，ht2代入相應荷載下的FN，s和uz計算式，即可求出沿梁長各截面的極限彎矩、滑移量和撓度值。

5　試驗驗證

為了驗證本文提出的粘鋼加固RC梁非線性分析方法的可靠性，取文獻[2]中5根試驗梁的試驗結果與本文計算結果進行對比。試驗梁分為2組，梁寬和梁高均分別為120和200 mm，受拉縱筋抗拉強度均為370 N·mm-2，梁底粘貼鋼板的寬度均為800 mm。第1組梁1#，2#和3#的跨度均為1 900 mm，混凝土強度等級C30, 抗壓強度為14.3 N·mm-2，梁底粘貼鋼板的厚度分別為2.0，4.0和6.0 mm；第2組梁4#和5#的跨度均為1 800 mm，混凝土強度等級C25, 抗壓強度為11.9 N·mm-2，梁底粘貼鋼板的厚度分別為1.0和1.5 mm。粘貼鋼板為Q235鋼，彈性模量為2.086 N·mm-2，抗拉強度為235 N·mm-2。試驗梁的示意圖如圖5所示。

圖5　試驗梁示意圖

試驗梁試驗結果以及用文獻[2]和本文方法計算的結果及破壞形式見表1。

表1　試驗及計算結果對比

從表1可以看出，文獻[2]按照極限彎矩理論，不考慮粘結—滑移的計算值均大于試驗值，粘鋼加固鋼筋混凝土梁的承載能力被放大，不利于結構的安全。本文考慮粘結—滑移后得到的計算值均小于文獻[2]的計算值，且更接近試驗值，隨著鋼板所受拉力的增大，本文計算值與試驗值更加接近，這與本文計算方法描述的受力性能相符。

試驗梁1#和3#的跨中荷載—撓度曲線實測值與計算值如圖6和圖7所示。由圖6和圖7可以看出，施加荷載初期，粘鋼加固RC梁的撓度略小于試驗值，隨著荷載的增大至極限荷載時實測撓度與計算撓度值基本接近。

圖6　1#試驗梁跨中撓度試驗值與計算值對比

圖7　3#試驗梁跨中撓度試驗值與計算值對比

6　影響非線性分析方法準確度的主要因素

1)粘結—滑移剛度

本文采用割線粘結—滑移剛度來表達鋼板與RC梁之間的粘結—滑移關系。實際工程及試驗中影響粘結-滑移剛度的因素眾多。例如：粘貼鋼板的厚度、粘接膠的性能、粘膠層的厚度、RC梁混凝土的強度等級、施工質量等，然而現階段對鋼板與RC梁之間粘結—滑移本構關系的研究相對較少，完全符合工程及試驗情況的粘結—滑移本構關系可選擇性較少。

2)鋼板端部錨固狀況

大量的試驗研究表明，鋼板端部的剝離是粘鋼加固RC失效的重要特征。本文中鋼板端部錨固情況的不同直接決定了邊界條件的不同，當鋼板端部有錨栓(錨固情況良好)時，對于雙對稱集中荷載作用下的簡支梁邊界條件ξ=0，1/2，1時，s=0。當鋼板端部無錨栓(錨固情況不良)時，對于雙對稱集中荷載作用下的簡支梁邊界條件ξ=0，1時，N=0；ξ=1/2時，s=0。

3)荷載作用形式

作用于RC梁上的荷載形式多種多樣，各種荷載作用形式對應的微分方程的通解并不相同，本文為便于與試驗結果對比，僅給出了對稱集中荷載和均布荷載作用下簡支梁的微分方程解。

7　結　論

(1)本文給出的粘鋼加固RC梁非線性分析方法，解決了RC梁與鋼板之間產生滑移之后平截面假定不再成立的計算問題。非線性分析計算結果與試驗結果基本吻合，可為粘鋼加固RC梁的非線性分析提供理論依據。

(2)協調工作系數數學表達式的建立對粘鋼加固RC梁的理論分析至關重要，本文給出的協調工作系數表達式有較高的理論基礎，使粘鋼加固RC梁極限承載力的計算更加合理、準確。

(3)鋼板與RC梁之間的粘結—滑移本構關系是本文非線性分析方法的基礎，隨著粘鋼加固RC梁粘結—滑移關系研究的不斷深入和完善，本文計算方法的準確度會更加符合工程實際情況。

[1]劉祖華,朱伯龍.粘鋼加固混凝土梁的解析分析[J].同濟大學學報：自然科學版,1994,22(1):21-26.

(LIU Zuhua, ZHU Bolong. Analytical Solutions for R/C Beams Strengthened by Externally Bonded Steel Plates[J].Journal of Tongji University:Natural Science Edition, 1994, 22 (1):21-26. in Chinese)

[2]高軒能,周期源,陳明華.粘鋼加固RC梁承載力性能的理論和試驗研究[J].土木工程學報,2006,39(8):38-44.

(GAO Xuanneng, ZHOU Qiyuan, CHEN Minghua. Theoretical and Experimental Research on Bearing Behavior of RC Beams Strengthened by Bonded Steel Plates [J]. China Civil Engineering Journal, 2006, 39(8):38-44. in Chinese)

[3]王天穩，王曉光.鋼筋混凝土梁粘鋼加固研究[J].武漢水利電力大學學報，1996,29(2):75-78.

(WANG Tianwen,WANG Xiaoguang.Research on Steel-Bonded Reinforcement for Reinforced Concrete Beams[J].Journal of Wuhan University of Hydraulic and Electrical Engineering， 1996,29(2):75-78. in Chinese)

[4]沈蒲生,譚宇昂. 鋼筋混凝土梁粘鋼加固材料最大用量理論與試驗研究[J].鐵道科學與工程學報,2005,2(5):45-49.

(SHEN Pusheng,TAN Yuang. Theoretical and Test Research on Maximum Utilized Quantity of Externally Bonded Strengthened Materials of Reinforced Concrete Beams [J]. Journal of Railway Science and Engineering,2005,2(5):45-49. in Chinese)

[5]BYUNG Hwan Oh, JAE Yeol Cho, DAE Gyun Park. Static and Fatigue Behavior of Reinforced Concrete Beams Strengthened with Steel Plates for Flexure [J].Journal of Structural Engineering,2003, 129(4):527-535.

[6]BYUNG Hwan Oh, JAE Yeol Cho, DAE Gyun Park.Failure Behavior and Separation Criterion for Strengthened Concrete Members with Steel Plates [J].Journal of Structural Engineering，2003,129(9):1191-1198.

[7]WU Gang, WANG Haitao, LIU Haiyang, et al. Experimental Study on the Fatigue Behavior of Steel Beams Strengthened with Different Fiber-Reinforced Composite Plates [J]. Journal of Composites for Construction， 2012, 16(2):127-137.

[8]江見鯨,陸新征,葉列平.混凝土結構有限元分析[M].北京：清華大學出版社,2005：116-141.

(JIANG Jianjing, LU Xinzheng, YE Lieping. Finite Element Analysis of Concrete Structures [M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2005:116-141. in Chinese)

[9]ALESSANDEA Aprile,ENRICO Spacone, SUCHART Limkatanyu.Role of Bond in RC Beams Strengthend with Steel and FRP Plates [J]. Journal of Structural Engineering，2001, 127(12):1445-1452.

[10]WU Yufei, CHANG Xu. Debonding Inhibiting Mechanism of Strain Localization Plating System[J]. Journal of Structural Engineering,2014, 140(9):04014049.

[11]ODED R.Debonding Analysis of Fiber-Reinforced-Polymer Strengthened Beams: Cohesive Zone Modeling Versus a Linear Elastic Fracture Mechanics Approach[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2008,75(10): 2842-2859.