函數項級數非一致收斂判別方法的探討

王菲菲+任曉陽

【摘要】一致收斂和非一致收斂是函數項級數的重要性質，其中一致收斂的判別所依循的定理和方法較多，而居于同樣地位的非一致收斂的判別方法中，除了定義法外其余方法并不常見。因此本文重新歸納探討判別函數項級數非一致收斂的方法，以方便解決函數項級數的相關問題。

【關鍵詞】函數項級數；；和函數；非一致收斂；判別

【中圖分類號】O173

一，函數項級數的相關知識

函數項級數在收斂時是函數的一種表示方法，這種表示方法可以從更深刻的背景上描述一個函數的性態：連續性，可積性，可微性等。在有了函數項級數的知識后，就存在了討論如何通過無窮多個函數的疊加來產生新函數以及研究這樣產生的新函數的性質的可能性，而函數項級數的一致收斂性和非一致收斂性在其中起了關鍵作。

定義：設{ }是定義在數集D上的一個函數列，表達式 稱為定義在D上的函數項級數，簡記為 ， 稱 為函數項級數 的部分和函數列。

若 ，數項級數 收斂，即部分和 ，

當 時極限存在，則稱級 在點 收斂。若在 處， 均收斂，則稱函數項級數 在D上收斂。

級數 在D上每一點 與其對應的數項級數 的和 構成一個定義在D上的函數，稱 為級數 的和函數，即 = 。

二，非一致收斂的定義

若 ，則稱函數項級數

在D上非一致收斂。

三，引進非一致收斂的意義

函數列理論中的重要問題是{ （x）}的相關性質（連續性，可積性，可微性等）在極限過程中是否依舊保持？而在函數項級數中，即 確定的和函數s（x）是否有有限和的相關性質，即：

⒈若

則

即 函數項級數的求和符號與極限符號能否交換？

⒉若對任何正整數n， 在 上均黎曼可積，則和函數s（x）是否在 上也黎曼可積？若此時可積，

即 函數項級數的求和符號和積分符號能否交換？

⒊若對任何正整數n， 在 上可導，則s（x）在 是否可導？

即 函數項級數的求和符號與導數運算能否交換（逐項可導）？

上述三種情形在 收斂的情況下并不一定成立，進而猜測，在附加一定的充分條件下使上述結論成立，因此引進了收斂性較強的一致收斂，從而深入研究和函數的相關性質。綜上，如何判別函數項級數的非一致收斂就變成一個重要且亟待解決的問題。

四， 非一致收斂的判別方法

1.函數項級數非一致收斂的 定義

，則函數項級數在區間D上非一致收

斂。

例1.試討論函數項級數 的斂散性。

解： 當 時，有

S（x）= ， 取 ，無論n取多大，只要取 ，就有 =

，綜上，由非一致收斂的定義知

非一致收斂。

2.確界法

若函數項級數 的余項為 ，且 =

，則函數項級數在D上非一致收斂。

例2.求證函數項級數 在 上非一致收斂。

證明：因為 ，則有s（x）= ，又因為

，即 在 上非一致收斂。

3.利用柯西收斂準則

（1）柯西收斂準則否定形式： 在D上非一致收斂

，使 。

（2）柯西收斂準則推論1的逆否命題：若函數列 非一致收斂于0，則函數項級數

非一致收斂。

（3）柯西收斂準則推論2：若函數項級數 在區間D上點點收斂，且在區間D上 存在一點列 ，使 ，則函數項級數 在區間D上非一致收斂。

例3.討論函數項級數 在 上的一致收斂性。

解：取 ，從而使得

。綜上，由柯西收斂準則知函數項級數 在 上一致收斂。

例4.討論 在 上的一致收斂性。

解：顯然函數項級數 在 上點點收斂，又知， ，有 ，則由柯西收斂準則的推論2知 在 上非一致收斂。

例5. 證明：函數項級數 在區間 上非一致收斂。

證明：函數項級數 在 上點點收斂，取 ，此時有

，所以， 不趨于0，則由柯西收斂準則的推論2知 在區間 上非一致收斂。

4.利用和函數的不連續性

若連續函數項級數 在區間D上點點收斂于和函數s（x），且存在 ，使s（x）在

處不連續，則函數項級數 在區間D上非一致收斂于s（x）。

（1）此方法在和函數比較容易求得的情況下應用簡便。

例6. 證明：函數項級數 上非一致收斂。

證明：由題知 ，且 ，當x=1時， ，

，而 ， 在

x=1處不連續，而 在區間上連續，綜上，函數項級數 上非一致收斂。

5.利用端點發散性判別

若函數項級數 在區間 上點點收斂，但在左端點 處發散，

且 在左端點 處右連續，則函數項級數 在 上非一致收斂。

證明：假設 在 上一致收斂，則

，則在上式中，令 ，得 ，再由柯西收斂準則知 收斂，這與已知矛盾。即得函數項級數 在 上非一致收斂。（定義域為 的情況，同理可證）

例7. 討論函數項級數 在區間 上的一致收斂性。

解：顯然函數項級數 在區間 上點點收斂，且每一項均在x=1處連續，而函數項級數 在x=1處，即數項級數 發散，故該函數項級數在區間 上非一致收斂。

例8. 討論函數項級數 在區間 上的一致收斂性。

解： 顯然函數項級數 在區間 上點點收斂，且每一項均在x=0處連續，而函數項級數 在x=0處發散， 故該函數項級數在區間 上非一致收斂。

例9. 證明：函數項級數 在區間 上非一致收斂。

證明：假設 在區間 上一致收斂，則將區間 看成 ，則由

，知數項級數 收斂，顯然矛盾。綜上，函數項級數 在區間 上非一致收斂。

五，小結

在判別非一致收斂的過程中，某一種方法對某一類函數項級數較為簡便，非一致收斂的判別往往與函數項級數的某種特殊性相關，以某端點的性質最為常見。實際上，對函數項級數的非一致收斂性的證明除了以上較常用的詳細介紹的五種方法外還有多種方法，如：①若連續函數項級數 在區間D上點點收斂于s（x），且 ， ，有 ，則函數項級數 非一致收斂于s（x）。 ②設對任意的自然數n，函數 在區間D上都是單調增加（或單調減小）的，如果存在數列 ，使級數 發散，則函數項級數 在區間D上

非一致收斂。 ③設對任意的 ， 為單調數列，如果存在數列 使 不存在，或者 存在但不為0，則函數項級數 在區間D上非一致收斂。

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