函數與方程的思想在高中數學中的應用

陳少婉

函數與方程的思想是高中數學的基本思想之一，是通過建立函數或方程，運用函數的圖像、性質等去分析問題，解決問題；更重要的是產生函數或方程的方法，能上升到思想高度主動思考問題.運用函數與方程的相互轉化解決零點問題、構建函數解決不等關系問題與最值問題、利用方程的思想解決消參求值問題以及切點弦問題等等，是近年高考的熱點和重難點.下面舉例說明函數與方程的思想在高中數學解題中的應用.

一、零點問題中的函數與方程思想

函數的零點問題是近幾年高考題的高頻考點和重難點.許多函數問題要用方程的知識與方法來支持；許多方程的問題，需要用函數的知識與方法去解決.函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象、概括與提煉，方程問題的函數視角就是利用函數的圖像、性質來研究方程的根及范圍問題.

1.1.與函數的零點或方程的根或函數圖像的交點個數問題

例題1.1.（1）已知函數y=f（x）的周期為2，當x∈[-1，1]時，f（x）=x2，那么函數y=f（x）的圖像與函數y=|lgx|的圖像的交點共有（ ）

A. 10個 B. 9個 C. 8個 D. 1個

綜上所述，原方程有4個實根.

點評：函數零點問題的解題思路主要有兩個方向，一是算出來，即利用方程求根，運用方程的思想求解，二是畫出來，即轉化為函數圖像與軸的交點問題或者兩個函數圖像的交點問題，運用函數的思想以及數形結合的思想求解.在解題過程中，函數與方程相互轉化.本題根據分段函數不同區間的特征，綜合運用解方程、構造函數，討論單調性等方法求解.

1.2求參數的值或取值范圍問題

例題1.2. 已知函數f（x）=|x2-1|，g（x）=x2+ax+2，x∈R，若函數h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有兩個零點x1，x2求實數a的取值范圍.

點評：運用函數的思想轉化零點問題，構造的函數不同，解法也不同，但用到的思想方法是相同的，在解題中要注意函數與方程的相互轉化.

1.3.借助零點，考查導數探究函數的性質

例題1.3. 設函數f（x）=e2x-alnx.

（Ⅰ）討論f（x）的導函數f′（x）的零點的個數；

值范圍，體現了函數的思想.解題時要注意自變量c的取值范圍，即函數定義域的確定.

三、立體幾何中的函數方程思想

函數方程思想不僅在代數解題中發揮著重要的作用，而且在立體幾何中也有著巧妙的應用.在立體幾何的動點問題、最值問題和逆向問題中，通常要運用函數與方程的思想求解.

3.1利用函數的圖像及性質解決立幾中動點的軌跡問題

例題3.1. 如圖，動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上. 過點P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N. 設BP=x，MN=y，則函數y=f（x）的圖像大致是（ ）

點評：本題是一道立體幾何與函數圖像相結合的題目，主要考查了函數圖像的變化.由于題目中給出了自變量和因變量，如能求出函數解析式，問題即可獲解.因此，可根據幾何體的特征和條件分析兩個變量的變化情況，通過M，N，P作底面的垂線作出M，N在平面ABCD內的正投影，保持其長度不變，從而把空間問題平面化，建立一次函數模型.

3.2利用方程的思想解立體幾何逆向題

例題3.2. 如圖，已知四棱臺ABCDA1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，點P，Q分別在棱DD1，BC上.

（1）若P是DD1的中點，證明：AB1⊥PQ；

（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值為，求四面體ADPQ的體積.

解析：由題設知，AA1，AB，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則相關各點的坐標為A（0，0，0），B1（3，0，6），D（0，6，0），D1（0，3，6），Q（6，m，0），其中m=BQ，0≤m≤6.

點評：本題是一道立體幾何逆向題.通過設定變量m，λ利用二面角PQDA的余弦值為以及PQ∥平面ABB1A1的條件建立等量關系，求出變量m，λ的值，體現了方程的思想.

3.3運用函數的思想解決立幾中的最值問題

例題3.3. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.

（1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成角最小時，求線段BQ的長.

解析：以{，，}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則各點的坐標為B（1，

總之，作為高中數學基礎知識的重要內容，數學思想與數學方法屬于教學中的重點，也是學生學習過程中的難點.通過思想與方法的學習能夠真正理解數學的價值和意義.函數與方程的思想是高中數學的基本思想方法之一，也是高考的重中之中，是掌握許多數學知識的基礎. 運用函數與方程的思想方法去解題，才舉一反三，融會貫通，才能俯瞰題目，達到“一覽眾山小”的境界.函數與方程思想的運用在高中數學中無處不在，在解題中應注意體會，歸納總結，形成方法和能力.

責任編輯 徐國堅