多體、多程問題的解題方略探析

鄭行軍

中學物理模型中，由多個物體組成的系統研究一直是一個難點。由于涉及對象的合理選擇及復雜過程的動態分析，因此在高考試題中常以中檔偏難的題目出現。下面就動量守恒定律框架下涉及的多體、多程問題的命題與解題策略進行歸類說明，以期能對高三同學的復習起到一點借鑒作用。

1. 模型定義：對于研究對象為多個物體組成的系統或涉及多個過程的動量守恒問題統稱為多體問題。

2. 溫馨提示：多個物體相互作用經歷多個運動階段時，物理過程往往比較復雜，分析時要注意以下幾點：①正確分析作用過程中各物體狀態的變化情況，建立運動模型；②分清作用過程中的不同階段，并找出聯系各階段的狀態量；③合理選取研究對象，既要符合動量守恒的條件，又要方便解題。

3. 方法歸類分析：

①分過程法：若系統中的物體在作用的全過程中系統動量不守恒或速度大小與過程相關聯，則列式時往往要根據作用過程中的不同階段，建立多個動量守恒方程，或將系統內的物體按作用的關系分成幾個小系統，分別建立動量守恒方程聯立求解。

②全過程法：若在作用全過程中系統始終符合動量守恒的條件，則在運用動量守恒定律時只須關注初、末狀態的動量，而不用注重中間狀態的具體細節，這樣可以給解題帶來很大便利。

4. 命題設計及解題策略：

命題設計1 速度關聯類問題

題型分析：在研究多體、多程問題時，命題條件常常會關聯物體運動的速度，這類問題的關鍵在于注意條件中有關參考系的關聯確定：若作用過程中研究對象的速度始終相對于地面而變化，可考慮全過程法；若物體的速度與系統中其它物體相關聯（如以其它物體為參考系運動），則要利用分過程法聯立方程分析求解。

【例1】甲、乙兩小孩各乘一輛小車在光滑水平面上勻速相向行駛，速率均為9m/s，甲車上有質量m0=1kg的小球若干個，甲和他的車及所帶小球總質量為m1=50kg，乙車和他的車總質量為m2=40kg，甲不斷地將小球以21m/s的對地水平速度拋向乙，并被乙接住，問甲至少要拋出多少個小球才能保證兩車不相撞。（不考慮空氣阻力）

解析：當甲、乙兩車最終速度相等時，兩車剛好不相撞，設此速度為v，取甲運動方向為正方向，甲、乙車及球組成的系統水平方向動量守恒，有：m1v1-m2v2=（m1+m2）v，又v1=v2=9m/s，將質量代入解得v=1m/s，方向與甲原運動方向相同。

甲每次拋出小球時，小球相對于地面的速度始終不變，可利用全過程法分析，設拋出n個球后使得甲的速度為v，對甲和被拋出的球，拋球過程水平方向動量守恒，有m1v1= nm0v0 +（m1-nm0）v，其中v0=21m/s，將質量代入得n=20個，即甲至少拋出20個球才能避免兩車相撞。

點評：在研究多個物體組成的系統中，合理的選擇研究對象是解題的關鍵，本題保證兩不相撞的臨界條件是末狀態兩車應有共同的速度，先取兩車與球組成的系統，全過程動量守恒，利用全過程法即可求最終的臨界速度；甲在拋球過程中由于拋出小球的速度相對地面始終不變，與甲、乙兩車無關，故可以甲車和拋出的小球為系統，利用全過程法求解。

命題設計2 作用關聯類問題

題型分析：在動量守恒定律的應用中，首先要注意選擇的系統否滿足守恒條件，在多體系統組成多過程運動中，若系統在全過程始終滿足守恒條件（不受外力或所受的合外力為零），可用全過程法；若選擇全過程無法滿足守恒條件，則需按作用關系分解為多個小過程，分別建立動量守恒方程聯立求解。

【例2】如圖2所示，人與冰車質量為M，球質量為m，開始均靜止于光滑冰面上，現人將球以對地速度v水平向右推出，球與檔板P碰撞后等速率彈回，人接住球后又將球以同樣的速度v向右推出……如此反復，已知M=16m，試問人推球幾次后將接不到球？

解析：當球與檔板碰撞瞬間，檔板會對球產生作用力，故人在推接球的全過程中，系統動量不守恒，可考慮分過程法。

點評：在分析多體問題時，清楚物體運動的過程，靈活選用分過程法和全過程法，應用動量守恒定律可正確解題。推球過程系統動量守恒，由動量守恒定律可以求出小車的速度，球與檔板碰撞瞬間動量不守恒，應用分過程法多次聯立推球過程的動量守恒公式即可求出碰撞的次數。

命題設計3 多體臨界問題

題型分析：在動量守恒定律的應用中，常常會遇到相互作用的兩物體恰好分離、恰好不相碰，兩物體相距最近，某物體恰好開始反向等臨界問題，分析時應注意：①分析物體的受力、運動情況，合理的選擇研究對象，判斷是否滿足動量守恒的條件；②分析臨界狀態出現所需的條件，即臨界條件，條件往往表現為某個（或某些） 物理量的特定取值（或特定關系），通常表現為兩物體的相對速度關系或相對位移關系，這些特定關系是求解這類問題的關鍵；③列方程時要注意位移或速度的同時性和相對性。

【例3】如圖3所示，甲、乙兩小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲，甲和他的冰車的總質量M =40kg，乙和他的冰車的總質量也是40 kg。游戲時，甲推著一個質量m=20kg的箱子，讓箱子和他一起以v1=2 m/s的速度滑行，乙以v2=1.75m/s的速度迎面向甲滑來。為了避免相撞，甲突然將箱子沿冰面推向乙，箱子滑到乙處時，乙迅速把箱子接住。若不計冰面的摩擦，為避免與乙相撞，問：（1）甲至少要以多大的速度（相對地面）將箱子推出？（2）甲將箱子推出的過程中至少做了多少功？

解析：（1）在推出和抓住的過程中，小孩、冰車和箱子的總動量守恒.要想剛能避免相碰，要求抓住后甲和乙的速度正好相等.此就可求得推出時的最小速度。

設箱子推出后其速度為v，甲孩的速度為v1′，以甲的初速度方向為正方向，根據動量守恒可得：mv+Mv1′=（m+M）v1；設乙孩抓住箱子后其速度為v2′，以向右為正方向，根據動量守恒可得：（m+M）v2′=mv-Mv2，剛好不相碰的條件要求：v1′=v2′，解得：v=5m/s，v1′=v2′=0.5m/s；

（2）設以最小速度推出時甲對箱子做功為W，對箱子，由動能定理得： 代入數值可得：W=135J；

點評：本題運動過程復雜，有一定的難度；分析清楚物體運動過程、找出避免碰撞的臨界條件是正確解題的關鍵.甲將箱子沿冰面推給乙過程，甲乙的總動量守恒，乙把箱子抓住過程，乙與箱子總動量守恒，當甲與乙恰好不相撞時，甲將箱子推給乙后速度與乙接住箱子后的速度恰好相等.根據動量守恒定律和速度相等條件求解甲推箱子的速度大小的最小值；對箱子，應用動能定理可以求出功.

拓展訓練：

1. 如圖4所示是沖擊擺裝置。塑料制成的擺塊用繩懸掛起來，使它只能擺動不能轉動。擺塊中間正對槍口處有一水平方向的錐形孔，孔的內壁墊以泡沫塑料.當彈丸射入后迅速停住，然后與擺塊一起擺動，讀出擺線偏離豎直方向的最大角度，就可求出彈丸的速度。某次實驗中，彈簧槍射出的彈丸以某一速度v0（未知）水平射入靜止的擺塊，讀出擺線偏離豎直方向的最大角度α=37°；然后將擺塊拉到擺線偏離豎直方向的角度β=60°由靜止釋放，當擺塊擺到最低位置時，讓彈丸以相同速度v0射入，擺塊恰好靜止已知擺線的長度L=1.00m，不考慮空氣阻力，求彈丸質量m與擺塊質量M的比值及彈丸的初速度v0。（取g=10m/s2，cos37°=0.8）

2. 如圖5所示，上端固定著彈射裝置的小車靜置于粗糙水平地面上，小車和彈射裝置的總質量為M，彈射裝置中放有兩個質量均為m的小球。已知M=3m，小車與地面間的動摩擦因數為μ=0.1。為使小車到達距車右端L=2m的目標位置，小車分兩次向左水平彈射小球，每個小球被彈出時的對地速度均為v。若每次彈射都在小車靜止的情況下進行，且忽略小球的彈射時間，g取l0m/s2，求小球彈射速度v的最小值。

解析：小球第一次被彈射時，規定小車的運動方向為正方向，

責任編輯 李平安