測量數據的科學處理及其在工程測量中的應用研究

楊武

（莆田學院 機電工程學院，福建 莆田 351121）

測量數據的科學處理及其在工程測量中的應用研究

楊武

（莆田學院 機電工程學院，福建 莆田 351121）

人們通常會用均值法(算術平均法)或統計法來處理測量數據,統計法處理測量數據雖然比均值法能多給出數據處理結果可信度，但是,用一個實數仍然不能表示多個實測值及其可信度.本文應用未確知數學處理測量數據則可克服這些方法的不足.

測量數據處理；未確知數學

1 不確定性與未確知數學

任何一個工程測量量，在多次測量中，得到的測量值一般都不是一樣的，換句話說，任何一個待測的物理量都是一個未確知量，存在有不確定性.自然界的現象有兩大類：一類是確定性現象，一類是不確定性現象.研究確定性（或稱必然性）現象的數學工具是經典數學（包括初等數學和以微積分為基礎的高等數學）.對于不確定性現象，人們最早接觸的是隨機性.研究隨機性的數學工具是概率論和數理統計[1].與隨機性不同的第二類不確定性是模糊性，處理模糊性的數學工具是模糊數學[2].他是美國加利福尼亞大學自動控制專家查德（L.A,Zadeh）教授于1965年創立的.80年代初，我國學者，鄧聚龍教授為研究灰性而提出灰色系統理論[3].灰性是一種不確定性程度比隨機性和模糊性更高的第三類不確定性.而被王光遠院士稱為“未確知性”的是不同于隨機性，模糊性和灰性的第四類不確定性[4].這種不確定性主要不在于事物本身，而是由于人們不能完全把握事物的真實狀態和數量關系造成的純主觀認識上的不確定性.研究這類不確定性的數學工具是1990年確立的未確知數學[5].

2 未確知有理數

未確知有理數是未確知數學中的最基本、最簡單、應用最廣、使用方便的未確知數.它是實數的一種推廣，能精細地刻劃和表達客觀世界中許許多多的“未確知量”.

2.1 未確知有理數的定義

對任意閉區間[a，b]，a＜x1＜x2＜…＜xn=b，若函數φ (x)滿足：

2.2 未確知有理數的四則運算

設未確知有理數A,B分別為

2.2.1 可能值帶邊和矩陣

表1稱為A與B的可能值帶邊和矩陣，由小到大的實數列x1，x2，…，xk和y1，y2，…，ym分別稱為A與B的可能值序列.

2.2.2 可信度帶邊積矩陣

表2稱為A與B的可信度帶邊積矩陣，f(x1)，f (x2)，…，f(xk)和g(y1)，g(y2)，…，g(ym)分別稱為A與B的可信度序列.

表2

2.2.3 未確知有理數的四則運算

將A與B的可能值和矩陣中的元素，按從小到大的順序排成一列:x1，x2…xl，其中相同的元素算作一個.A與B的可信度積矩陣中與xi(i=1,2,…l)相對應的元素排成一個序列:k1，k2…kl.其中若xi表示A與B的可能值和矩陣中M個相同元素時，ki表示這M個相同元素在A與B可信度積矩陣中的M個相應元素之和.那未確知有理數[[x1,xl],φ(x)]為A與B之和，記作A+B，其中

對于A與B的減法A-B,乘法A×B和除法A÷B運算，只需把加法運算中的可能值帶邊和矩陣中的“和”分別改為“差”、“積”、“商”，便可把可能值帶邊和矩陣分別變為可能值帶邊差矩陣、積矩陣和商矩陣，其他一切不變，即可分別得到未確知有理數差的運算A-B，積的運算A×B以及商的運算A÷B.

3 未確知有理數在測量數據處理中的應用

3.1 測量數據的未確知有理數表達

為說明問題方便起見，以大學物理實驗中的長度測量為例：用游標卡尺測量一鋼珠直徑，得到5次重復測量結果：14.90，9.80，8.82，8.82，7.66（mm）.由均值法得到鋼珠的直徑為10.00mm.

均值法是處理測量數據的一種基本方法.它在一定程度上可減小測量中的隨機誤差，而且結果為一實數，使用方便.但是，用均值法近似表示一個物理量的測量結果，到底有多大的可信度卻是不清楚的.讓我們回過頭來看上述例子，如果我們認為鋼珠直徑在5次測量中，得到一次14.90mm的主觀可信度為1/5，則9.80mm和7.66mm的可信度也分別為1/5，而8.82mm的可信度則為2/5.于是鋼珠的直徑測量值落在區間 [7.66，9.80]的可信度就高達80%，而均值法認為鋼珠直徑的近似值為10.00mm的可信度則不會超過20%.

由此可見，用一個實數來表示一個物理量（如上例中的鋼珠直徑）的測量結果就難免失真.事實上，任何一個實數都無法表示多個實測值，也無法表示每一次測量結果的可信度.而未確知有理數則可以克服這一不足，如上述鋼珠直徑的測量結果可表示為一個四階的未確知有理數：

用未確知有理數[[7.66,14.90],φ(x)]與用一個實數D=14.00mm表示鋼珠直徑的根本不同點在于：未確知有理數能把我們所獲得的全部信息無遺漏、無失真的表示出來.特別是，用它參與運算可減少誤差積累，可最大限度地用足已知條件.這些都是未確知有理數處理測量數據的優點.

值得一提的是，在物理量的測量中，除了純主觀認識上的不確定性以外,還會受到測量儀器精度、測量次數、測量者的經驗和操作能力等的影響.因此，所要測試的所有物理量都是“未確知量”.這就需要用未確知有理數來表達測量結果,以避免信息遺漏、失真，并應用未確知數學來處理實驗數據，以減少誤差積累.

3.2 測量數據的未確知有理數處理

同樣，為說明問題方便起見,以大學物理實驗中的小圓柱體體積測量和數據處理為例，用游標卡尺測小圓柱體的直徑D，高度H各4次，測量的結果如表3所示.

表3 單位:mm

以上小圓柱體的直徑和高度的測量結果可分別表示為未確知有理數D和H:

由未確知有理數的四則運算，得：

對以上結果，作如下分析：

(1)當x=9584.80時，可信度等于0.188，為最大值.作為一個測量的可信度能達到0.188，可認為是很大的.顯然小圓柱體的體積是一個確定值，因此，可認為該圓柱的體積應在這一數值附近.

(2)若以可信度最大的x值為中心，向上向下各取3個值，即向上取值到9575.35，向下取值到9594.25，此時小圓柱體的體積落在區間[9575.35，9594.25]上的可信度將達到75%.由此可認為小圓柱體的體積應在該區間內.若取上述7個數的平均值9583.64mm3作為小圓柱體的體積是合理的，也是符合實際的.

(3)當實測數據更精確時，計算結果也將會更準確.

4 結論

工程測量中所有的測量量都是“未確知量”，應用未確知數學來處理未確知量,不僅可以確保測量獲得的全部信息無遺漏、無失真，而且用它進行運算還可減少誤差積累，最大限度的用足全部測量結果.

〔1〕祝東進，郭大偉，劉曉.概率論和數理統計[M].北京:國防工業出版社,2010.

〔2〕謝季堅，劉承平.模糊數學方法及其應用[M].武漢:華中科學技術出版社,2013.

〔3〕劉洪.新學科精覽[M]北京:中國科學技術出版社,1990.290-302.

〔4〕王光遠.論未確知信息及其數學處理[J].哈爾濱建筑工程學院學報,1990(4).

〔5〕劉開第，吳和琴，龐彥軍，等.不確定性信息數學處理及應用[M].北京:科學出版社,1999.48-71.

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1673-260X（2017）03-0081-03

2016-12-23

福建省教育廳教育教學改革研究項目：測量數據的科學處理與實踐(JAS151326)