行列式及其性質的幾何解釋

楊先山

（長江大學 信息與數學學院，湖北 荊州 434023）

行列式及其性質的幾何解釋

楊先山

（長江大學 信息與數學學院，湖北 荊州 434023）

對行列式及其性質的幾何意義進行研究，得到二階行列式是平行四邊形帶符號的面積，三階行列式是平行六面體帶符號的體積，將其推廣，引入超平行多面體和多個向量的向量積的概念，得到高階行列式的幾何意義是超平行多面體帶符號的廣義體積.最后，以二階行列式為例，對行列式的性質進行了幾何直觀上的解釋.

行列式；超平行多面體；向量積；面積；體積

行列式是理工科數學中的一個重要的工具性知識，不僅在代數中起著不可或缺的作用，而且在計算機科學，工程技術，經濟管理等領域有著廣泛的適用性.在線性代數教材[1,2]中對行列式的介紹大多都是“由定義到定理”式的層層推進，雖然嚴密，體現了數學邏輯性強和抽象性的特點，但復雜、晦澀的表達式也使得初學者對線性代數望而生畏.下面，筆者將對行列式的定義及常見性質給出幾何直觀的解釋.

1 行列式的幾何意義

證明 如圖1所示，以行向量α1=(a11,a12)與α2=(a21,a22)為鄰邊構成的平行四邊形OACB,記α1=a11i+a12j，α2=a21i+a22j，則α1×α2=(a11a22-a12a21)k，因此平行四邊形OACB的面積

圖1 二階行列式的幾何示意

圖2 三階行列式的幾何示意

證明 如圖2所示，以行向量 α1=(a11,a12,a13)，α2=(a21,a22, a23)，α3=(a31,a32,a33)為相鄰的棱構成的平行六面體的體積

另一方面，α1·(α2×α3)=|α1||α2×α3|cosγ，γ為 α2×α3與α1的夾角，當α1，α2，α3構成右手系時γ為銳角，行列式符號為正，反之為負.

將二、三階行列式的幾何意義向n(n＞3)階行列式類推，三維空間中的平行六面體和兩個向量的向量積的概念推廣到Rn中，引入如下定義：

定義1[3]Rn中m個行向量α1,α2,…,αm構成的形式為

的所有向量的集合稱為由向量α1,α2,…,αm張成的超平行多面體，記作Hm.稱α1,α2,…,αm為Hm的棱.由向量α1,α2,…,αm張成的超平行多面體Hm-1稱為Hm對應于α1的底.記矩陣稱為超平行多面體Hm的廣義體積（面積）.

顯然，如此定義的體積（面積）V(Hm)是二維、三維歐氏空間中面積、體積概念的推廣，當α1,α2,…,αm線性相關時V (Hm)=0，α1,α2,…,αm線性無關時，體積V(Hm)≠0，稱超平行多面體Hm的維數為m.

定義 2[4]設e1,e2,…,en是Rn中的一個標準正交基，Rn中的n-1個向量αi,=(ai1,ai2,…,ain)的向量積是一個向量，記作ψ或[α1α2…αn-1].

其中A1j(j=1,2,…,n)為ψ的(1,j)元的代數余子式.

容易驗證ψ與α1，α2，…，αn-1都正交，且ψ的方向由α1，α2，…，αn-1順次按右手法則確定.

引理1 |[α1α2…αn-1]|是由向量α1，α2，…，αn-1張成的超平行多面體Hn-1的廣義體積（面積）.

當α1，α2，…，αn-1線性相關時，R(AAT)≤R(A)＜n-1，故|AAT|=0；當α1，α2，…，αn-1線性無關時，[α1α2…αn-1]2≠0，此時

上式中|[α2α3…αn]|是由向量α2α3…αn張成的超平行多面體Hn-1的廣義體積，|α1|cosθ是向量α1在向量[α2α3…αn]上的投影，其絕對值恰好是超平行多面體Hn對應于α1的底上的高，符號與cosθ的正負一致.

2 行列式的性質[1]的幾何解釋

性質1 如果行列式中有一行元素全為零，則行列式等于零；有兩行元素成比例，則行列式等于零；有兩行完全相同，則行列式等于零.

從行列式的幾何意義上看，如果行列式中有一行元素全為零，或有兩行元素成比例，或有兩行完全相同，則α1，α2，…，αn線性相關，此時由向量α1，α2，…，αn張成的超平行多面體的維數小于n，因此其廣義體積等于零.

性質2 互換行列式的兩行，行列式變號.

由定義2可知，如果互換α1，α2，…，αn中兩個向量的順序，則[α2…αn的方向恰好反向，因此[α1α2…αn]與α1的夾角θ變成α±π，余弦值變成原來的相反數，故其帶符號的體積變號.

性質3 行列式與它的轉置行列式相等.

記 α1=(a11,a12)，α2=(a21,a22)，β1=(a11,a12)，β2=(a21,a22)，則 det的轉置行列式為見圖3，按行列式的幾何意義的絕對值等于平行四邊形OACB的面積（記作S1）的絕對值等于平行四邊形ODFE的面積（記作S2），

圖3 行列式轉置的幾何示意

性質4 行列式的某一行中所有的元素都乘以同一個數k，等于用數k乘此行列式.

圖4 數乘行列式的幾何示意

見圖4，將平行四邊形OACB的一邊OA伸長k倍變成OD，則平行四邊形變成ODEB，其面積也擴大k倍.即det

性質5 若行列式的某一行的元素是兩數之和，則等于兩個行列式之和.

如圖5所示，平行四邊形OACD與平行四邊形ADEC的面積之和等于平行四邊形ODEB的面積.即

圖5 行列式的和的幾何示意

性質6 把行列式的某一行的各元素乘以同一數然后加到另一行對應的元素上去，行列式不變.

圖6 行列式的性質6的幾何示意

如圖6所示，將向量α2+kα1的起點固定在原點，則對任意實數k，其終點D落在直線BC上，即平行四邊形OAED與平行四邊形OACB的OA邊上的高相等，所以面積相等.另外，α1，α2與 α1，α2+k α1的相對方位一致，因此 det

〔1〕同濟大學數學系.線性代數[M]．北京：高等教育出版社，2014.

〔2〕王萼芳,石生明.高等代數[M]．北京：高等教育出版社，2013.

〔3〕高立仁.超平行體的體積[J]．工科數學,1993,9(1):23～25.

〔4〕張沛和,周瑜.空間的矢量積及其應用[J]．嘉應大學學報(自然科學),2000(3):5～9.

〔5〕呂林根,許子道.解析幾何[M]．北京：高等教育出版社，2006.

〔6〕李尚志.從問題出發引入線性代數概念(續)[J]．高等數學研究,2006,9(6):12～15.

〔7〕陳建華,蔡傳仁.幾何直觀在線性代數教學中的應用[J]．工科數學,2002,18(1):87～90.

〔8〕謝琳,張靜.從幾何直觀理解行列式與Cramer法則[J]．高等數學研究，2009，12(1):61～62．

〔9〕郭文獻.實矩陣行列式的幾何解釋[J]．殷都學刊(自然科學版),1998(5):8～9.

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1673-260X（2017）03-0009-03

2016-12-17