廣義Toda晶格方程的對稱和精確解

李 紅，王 鑫，李吉娜

（中原工學院 理學院，河南 鄭州 450007）

廣義Toda晶格方程的對稱和精確解

李 紅，王 鑫，李吉娜

（中原工學院 理學院，河南 鄭州 450007）

本文主要研究了Blaszak-Marciniak結構方程廣義Toda晶格方程的Lie對稱和約化問題，并給出有理形式和指數形式的顯式解.同時，給出序列的廣義對稱，進一步地證實其可積性.

廣義Toda晶格；Lie對稱；新顯式解

1 引言

近些年，非線性離散孤子方程的研究引起研究者的廣泛關注[1-4].連續孤子方程，可積非線性偏微分-差分方程等豐富了數學結構，例如，Lax對，無窮守恒定律，哈密頓結構，經典對稱，廣義或高階Lie-B?cklund對稱[5-9]等等.其中，Lie對稱[10]是尋求非線性偏微分-差分方程精確解的非常有效的方法之一，同時也可以預測可積性.

文獻[11]在代數移位算子中采用r-矩陣形式，Blaszak和 Marciniak提出一個 m階離散等譜問題：LmΨn=λΨn，Lm=Eα+m+uα+m-1Eα+m-1+…+uαEα,其中-m≤α≤-1，E是由Eun= un+1定義的移位算子.當m=3時，有如下形式的廣義Toda晶格方程

令wn=0，上述方程可退化為著名的Toda晶格方程.大量豐富的數學結構均與這個方程有關，例如哈密頓結構，Miura-like規范變換，可積辛映射，無窮守恒定律，Darboux變換等等.

本文的目的是求方程（1）的Lie點對稱，然后方程可以簡化為一個普通的微分-差分方程，找到有理形式和孤子形式的顯式解.最后，給出序列的廣義對稱，更進一步證實其可積性.

2 Lie對稱和冪零Lie代數

首先，我們介紹含有一個參數的連續點變換

這里，無窮小生成元是

現在假設Blaszak-Marciniak晶格方程在這個變換下是不變的，也就是說

將方程（1）代入上式，得到

其中α，β，γ是任意參數，因此無窮小生成元是

生成元G1,G2,G3是

其交換算子如下：

這表明Lie代數是冪零的.

3 約化和顯式解

接下來，根據特征方程的對稱，我們得到相似變量和相似變換

通過兩種情況可以得到對稱約化方程.

1）當β≠0，令

方程（1）可以約化為

2）當β=0，γ≠0，令

方程（1）可以約化為

接下來得到β=0情況下的兩個特解.

（i）有理解

其中a=α/γ，c1,c2,η0是任意參數.

（ii）孤子解

這里p,c0,c1,c2是任意參數，那么我們有

4 廣義對稱

在這一部分，我們通過Hereman等人提出的算法研究方程（1）的廣義對稱.首先，從生成元G2我們得到一個伸縮對稱

un,vn和wn分別對應于關于t的二階，一階和三階導數.也就是說，

接下來我們推導方程（1）秩為（3,2,4）的廣義對稱.秩為2,3和4的un,vn和wn的所有單項式構成形式如下

通過方程（1），可得

關于t的求導的單項式為

同樣地，可得到

聯合R3,R2和R4，可以得到如下廣義對稱

其中Dt是全導數，F1，F2，F3是方程（1）的右端項.接著就可以確定系數，且對稱可以表示為

同樣地，可以得到秩為（4,3,5）和秩為（5,4,6）的廣義對稱

同樣地，上述方法可以直接推廣到高階廣義對稱，這里不在贅述.

5 結論

在本文中，我們通過經典的Lie對稱方法得到廣義Toda晶格方程的Lie對稱和約化，并給出有理形式和孤立形式的特解.如同其他BM分層晶格方程，我們得到方程（1）也有廣義的對稱序列，并進一步證實其可積性.此外，一旦得到方程的廣義對稱，利用Sahadevan和他的同事的研究，就可以進一步得到主要對稱性和遺傳算子，下一步我們將深入研究這類問題.

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O175.2

A

1673-260X（2017）03-0003-03

2016-12-21

河南省高等學校重點科研項目(15B110012，17A110036);河南省科技廳項目（152300410227）