基于LM方法的雙指數跳擴散模型的參數估計

呂 韓，陳 萍

( 南京理工大學 理學院，南京 210094 )

基于LM方法的雙指數跳擴散模型的參數估計

呂 韓，陳 萍

( 南京理工大學 理學院，南京 210094 )

介紹了雙指數跳擴散模型的特征，闡述了Lee-Mykland方法識別跳躍的基本思想，用極大似然法對參數進行估計，從而形成了一種新的組合方法。利用上證指數2010—2016年的歷史數據進行實證分析，實驗結果表明：使用組合方法對收益率時間序列數據進行估計，不但能有效估計跳擴散模型的參數，而且能把跳躍發生的時點和相應的參數識別出來。

雙指數模型；Lee-Mykland方法；上證指數；跳躍識別

絕大多數研究都將標的資產價格假設為幾何布朗運動，認為資產的價格關于時間是連續函數，資產的價格變動也是連續的。作為期權定價基石的Black-Scholes[1]模型，在一定的假設前提下解析出了金融衍生產品的定價公式，并因其簡單、易理解等優點被廣泛應用。由于模型的高度理想化，實際市場的兩個現象受到很大的關注:① 非對稱的尖峰肥尾特征，即資產回報分布是有偏的，并且有比正態分布更高的峰度和更厚的尾部；② 波動率“微笑”，BS模型假設隱含波動率是常量，而實際上，金融市場上得到的隱含波動率曲線是像一個“微笑”的曲線，也就是意味著它是執行價格的凸函數。

人們一直試圖放松BS模型的種種假設，來解釋尖峰現象和波動率“微笑”。其中最重要的方向之一，就是在擴散過程的基礎上引入跳躍，以更好地描述標的資產所服從的隨機過程。當市場中有重大信息(如突發事件、自然災害、政策大調整等)到達時，市場股價可能發生間斷性的“跳躍”過程，在實際市場中上，標的資產的價格會出現“不正常”的振動。此時，利用幾何布朗運動再來描述資產收益變動過程就不是很合理了。為了刻畫股票價格變動的這種非連續行為，研究者們提出了很多模型加以解釋，跳擴散模型[2]就是其中較為重要的一種。研究結果表明：跳躍擴散過程描述股價運動要優于布朗運動，已逐漸地被應用在期權定價及匯率、利率的突變研究等方面[3-4]。

股價行為建模作為目前研究的熱點問題，對資產定價、投資組合以及產品設計都有決定性意義。從目前的文獻可以看出：中國股市收益率分布特征的研究已是相當豐富，但是對于股價的運動規律，尤其是其中跳躍成分的探討還是一個鮮有人涉足的領域。本文利用Lee和Mykland提出的跳識別方法，結合極大似然估計，對雙指數跳擴散模型的參數估計方法進行研究，對于擴充現有模型理論、尋求資產價格變動規律、評估衍生品的風險特征等都具有一定的現實意義。

1 雙指數跳擴散模型

S.G.Kou[5]在總結前人模型的基礎上，提出雙指數跳躍擴散模型。模型的基本假設為:資產動態服從布朗運動加上復合泊松過程，其跳躍幅度服從Laplace雙指數分布。為了便于參數估計時的數值計算，假設Kou提出的模型中p=q，記St為t時刻的股票價格，滿足如下模型：

(1)

其中：μ是漂移率；σ是波動率； dWt是一個服從標準Brown運動的增量；Ju和Jd分別表示向上和向下的跳躍幅度，皆服從指數分布。密度函數表達式分別為：

(2)

(3)

ηu(ηd)表示向上(下)跳躍幅度的均值，dNu(λu)(dNd(λd))表示強度為λu(λd)的泊松計數過程，有p(dNi(λi)=1)=λidt,p(dNi(λi)=0)=1-λidt,i=u,d。由此可見，依方向將“跳”分成了兩種類型，服從不對稱的對數指數分布。

利用伊藤引理[6]對(1)式進行對數變換后，得到如下形式：

(4)

用Euler方法[7]對模型進行離散化處理，得到t時刻的收益率：

(5)

所以，在Δt→0時，以上收益(5)可以近似為：

(6)

(7)

2 跳的識別與模型的參數估計

由于跳的存在，極大似然估計等傳統的模型參數估計方法存在較大的估計誤差。針對這個問題，學者提出了馬爾可夫鏈的蒙特卡洛模擬方法(MCMC)，在估計跳擴散模型參數問題中得到了廣泛應用[8-9]。MCMC方法是從總體上對參數進行估計，無法將跳變序列和連續序列分離識別，因而無法估計跳變時刻和跳躍幅度。

2.1 Lee-Mykland跳識別理論及算法

Lee和Mykland[10]提出了一種跳識別方法，即Lee-Mykland逐時點檢驗方法，此方法能檢測某個給定的收益率數據是否服從純粹連續分布，從而識別出過程中的跳。主要思想是：先確定一個窗口大小K，在檢驗給定時刻前選擇K個數據，計算最大變動幅度，并與需要檢驗時刻的價格變化幅度進行比較，如果需要檢驗時刻的變化幅度超過最大變動幅度則說明這個點為跳。最后依次將窗口后移，逐個時刻檢驗是否存在跳。Lee和Mykland用價格的時點方差對價格改變量進行標準化構造，得出服從標準正態分布的跳檢驗統計量。關鍵是要估計出時點方差。他們采用現實雙冪變差為基礎來估計時點方差，并且證明了當時間間隔趨于0時，檢驗誤判和漏判的概率趨于0。基于以上思路，他們構造了檢驗統計變量L(i) 來測試在ti時刻是否存在從ti-1到ti的跳：

(8)

其中

(9)

Lee和Mykland給出了跳識別的拒絕域，并證明了若在時間間隔(ti-1,ti]內不存在跳，則在Δt→0 時有：

(10)

下面給出了股票價格收益率序列的跳躍識別算法：

1) 對第i個股價收益率數據用式(8)和(9)計算統計變量L(i)。

2) 選擇一個顯著性水平α計算閾值，這是一個累計分布函數，滿足P(ψ≤β*)=exp(-e-β*)=1-α。

2.2 參數估計方法

1) 跳躍頻率的估計

對于強度為的Poisson計數過程來說，對其頻率的估計可以用極大似然法估計：

(11)

其中ξ1,ξ2,…,ξn為樣本點。

假設1年有250個交易日，則跳躍頻率的年估計值為：

(12)

2) 跳躍幅度的估計

(13)

其中x1,x2,…,xn為樣本點。

(14)

(15)

3) 擴散過程參數估計

正態分布的均值與方差的極大似然估計分別為：

(16)

(17)

(18)

3 上證指數的實證分析

本文將股票價格描述為一個帶有指數跳的擴散過程。為了有效地估計跳躍的頻率和幅度，以便預測未來價格。選擇上證指數總共4 001個樣本(n=4 001)，采用本文提出的組合方法來估計模型的參數，并在Matlab中實現以上算法[11]。圖1為原始樣本數據序列，即2000—2006年上證指數走勢。

圖1 上證指數走勢

由于原始數據波動性較大，使得數據不夠穩定，因此對原數據取對數，這樣既不會改變數據的相關性又能使原始數據變得相對平穩。然后用

Ri=lnSi-lnSi-1

(19)

得到上證指數的收益率序列。圖2給出了樣本數據收益率的時間序列圖。

圖2 上證指數收益率的時間序列圖

從圖2可以明顯看到，股指收益率原始數據圖并不平穩，在多個地方存在跳躍點。下面觀察收益率序列Rt的基本統計特征。

在Matlab中計算得到收益率數據基本統計量，見表1。

表1 收益率數據基本統計量

從表1可以看出：收益率數據的偏度為-0.339 5，呈現出左偏；峰度系數為7.354 3，大于正態分布峰度系數3，說明股指收益率序列呈現出尖峰厚尾的特征。數據表明，“跳”的存在使得原始數據收益率并不服從正態分布，出現異常點，呈現尖峰厚尾的特征。

圖3 跳辨識結果

用跳躍點前后6個數據來取代跳躍點的收益率，得到修正后的連續擴散過程收益率序列Rt′，根據其與原始數據之差統計出向上跳躍發生次數為24次，向下跳躍次數為28次，跳躍時間如表2、3所示。

圖4給出了修正后的收益率序列Rt′的時間序列圖。

表2 上證指數向上跳躍時間點匯總

表3 上證指數向下跳躍時間點匯總

圖4 修正后的收益率序列圖

表4給出了修正后的收益率序列的基本統計量。

表4 修正收益率數據基本統計量

由圖4可見:修正后的收益率基本平穩，通過和圖2的原始收益率序列對比，發現Lee-Mykland跳辨識方法確能很好地辨別出跳躍點。觀察表4修正后的收益率序列的統計特征發現：其偏度從-0.219 1變為-0.064 3，左偏程度明顯減弱；峰度也從7.594 2降為4.237 9，更加接近正態分布的峰度值3。

在完成了跳的識別工作后，根據本文的極大似然方法估計出收益率序列的參數，估計結果見表5。

表5 跳擴散模型參數估計結果

從參數估計結果可以看出，收益率序列的年波動率為23.81%，這與實際數據的較高波動性相吻合。向上跳躍和向下跳躍的年頻率分別為1.500 0和1.750 0，而跳躍的幅度相仿。

以上完成了上證指數跳擴散模型跳的辨識和參數估計工作，下面對將方法的有效性進行檢驗。由本文模型(1)和由歷史數據估計的參數(表5)，采用蒙特卡洛模擬方法生成模擬收益率數據圖，通過與真實值(觀測值)進行對比來檢驗估計方法的有效性。根據

(20)

將表5中的參數代入，在Matlab中利用蒙特卡洛方法模擬出相應的收益率數據序列，并生成模擬數據和真實數據的Q-Q圖，如圖5所示。

圖5 上證指數模擬數據與真實值的Q-Q圖

從真實值與模擬數據的Q-Q圖可以看出，本文建立的雙指數跳擴散模型的擬合值和真實值幾乎位于一條直線，說明該模型模擬出的數據與真實數據的分布情況擬合效果很好。

4 結束語

[1] BLACK F,SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilityes[J].The journal of political economy,1973(2):637-654.

[2] MERTON R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal of financial economics,1976,3(1/2):125-144.

[3] CHEN S W,SHEN C H.GARCH,jumps and permanent and transitory components of volatility:the case of the Taiwan exchange rate[J].Mathematics and Computers in Simulation,2004,67(3):201-216.

[4] AKGIRAY V,BOOTH G G.Mixed diffusion-jump process modeling of exchange rate movements[J].The Review of Economics and Statistics,1988(3):631-637.

[5] KOU S G.A jump-diffusion model for option pricing[J].Management science,2002,48(8):1086-1101

[6] SHREVE S E.Stochastic calculus for finance II:Continuous-time models[M].[S.l.]:Springer Science & Business Media,2004.

[7] ACHDOU Y,PIRONNEAU O.Computational methods for option pricing[M].[S.l.]:Siam,2005.

[8] CHIB S,NARDARI F,SHEPHArd N.Markov chain Monte Carlo methods for stochastic volatility models[J].Journal of Econometrics,2002,108(2):281-316.

[9] ERAKER B.Do stock prices and volatility jump Reconciling evidence from spot and option prices[J].The Journal of Finance,2004,59(3):1367-1403.

[10]LEE S S,MYKLAND P A.Jumps in financial markets:A new nonparametric test and jump dynamics[J].Review of Financial studies,2008,21(6):2535-2563.

[11]鄭志勇.金融數量分析——基于Matlab編程[M].2版.北京:北京航空航天大學出版社,2013.

ZHENG Zhiyong.Financial quantitative analysis based on Matlab programming[M].2 Edition.Beijing:Beihang University Press,2013.

(責任編輯 劉 舸)

Parameter Estimation of Double Exponential Jump Diffusion Model Based on LM Method

LYU Han, CHEN Ping

(School of Science, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

This paper introduces the characteristics of the double exponential jump diffusion model, and expounds the basic idea of the Lee-Mykland method to identify the jump, and uses the maximum likelihood method to estimate the parameters, thus forming a new combination method. We use Shanghai stock index from 2010 to 2016 to do empirical analysis.The results show that using the combination method of return time series data to estimate can not only effectively estimate the parameters of the jump diffusion model, but also identify the jumping point and the corresponding parameter.

double exponential model; Lee-Mykland method; Shanghai composite index; jump recognition

2016-12-25 基金項目：國家自然科學基金資助項目(11271189)

呂韓(1991—)，男，江蘇泰州人，碩士研究生，主要從事金融隨機分析、應用統計研究，E-mail:nplvhan@163.com。

呂韓，陳萍.基于LM方法的雙指數跳擴散模型的參數估計[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(3):151-157.

format： LYU Han, CHEN Ping.Parameter Estimation of Double Exponential Jump Diffusion Model Based on LM Method[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(3):151-157.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.03.023

O212

A

1674-8425(2017)03-0151-07