玩轉長方體 突破三視圖

華南師范大學附屬中學南海實驗高級中學(528200) 孔小瓊

玩轉長方體 突破三視圖

華南師范大學附屬中學南海實驗高級中學(528200) 孔小瓊

三視圖是新課程高考的一個新增內容,高考試題主要圍繞空間幾何體的結構特征、空間幾何體的三視圖以及表面積和體積等運算,核心考查學生空間想象能力及運算能力.《課程標準》對于空間幾何體要求讓學生經歷“實物模型—三視圖—直觀圖”這一相互轉化的過程認識空間幾何體.筆者在教學實踐中發現,學生在解決這類問題上能力差異較大.空間想象能力稍好的學生,能通過自己的理解和想象順利地解決問題,而對于能力較弱的學生來說,解決此類問題只能“碰運氣”.有沒有解決這類問題顯化的、可操作性的通法呢?不妨回到三視圖的定義,通過對定義的本質再認識去尋找答案.

所謂三視圖,就是光線分別從幾何體的前面向后面、左面向右面和上面向下面三個方向正投影,得到的投影圖.一般地,側視圖在正視圖的右邊,俯視圖在正視圖的下邊,它們都是平面圖形,常用“長對正、高平齊、寬相等”來描述其數量關系.所以,給出了幾何體的三視圖,就從宏觀上知道了“幾何體的長、寬、高”,也就是說,以三視圖中給出的幾何體的長、寬、高可以構造出包含該幾何體的最小長方體.有了長方體這樣一個載體,接下來只需分別根據正視圖、側視圖、俯視圖的形狀,按部就班地對長方體進行“切割”,最終獲得幾何體的直觀圖.因此,在解決三視圖問題時,借助長方體可以有效解決一類三視圖問題.

圖1

例1 (2014年新課標卷I,理12)如圖2,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的幾條棱中,最長的棱的長度為( )

圖2

分析本題以三棱錐的三視圖為背景,計算其最長的棱長為素材創新設計,需要考生先根據三視圖畫出幾何體,再計算各棱長.直接還原幾何體需要考生具有較強的空間想象能力,但根據三視圖中的網格和直角三角形兩個顯著特征,若以正方體為載體,可以幫我們較好的識圖、想圖和畫圖.

第一步,根據給出的三視圖的數量關系,構造一個棱長為4的正方體;第二步,分別根據正視圖、側視圖、俯視圖的形狀對正方體進行相應的切割,使切割后的幾何體三視圖與已知相符;第三步,畫出直觀圖,得到如圖的三棱錐A-BCD(其中A為正方體其中一條側棱的中點).在正方體中由勾股定理易計算出六條棱長分別為因此,最長的棱為AD=6.

圖3

例2 (2008年新課標卷,理12)某幾何體的一條棱長為在該幾何體的正視圖中,這條棱的投影是長為的線段,在該幾何體的側視圖與俯視圖中,這條棱的投影分別是長為a和b的線段,則a+b的最大值為( )

分析可結合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算,問題迎刃而解.如圖,設長方體的高寬長分別為x,y,z,根據題意構造對角線則棱AC1在正視圖中的投影為在側視圖中的投影為C1D=a,在俯視圖中的投影為AC=b.則解得y=1,又所以(a2-1)+(b2-1)=6,解得a2+b2=8,從而(a+b)2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16,得a+b≤4,當且僅當a=b=2時等號成立.故a+b的最大值為4.

圖4

本題最大的特點是用文字語言描述三視圖的特征,需要將其轉化為具體的直觀圖.這其中最困難的是幾何體的特征需要從文字描述的關系中獲得,試題對能力的要求比較高：第一,要求考生有較高的閱讀理解能力,能把題目的條件和所求讀懂;第二,要求考生有較強的轉化能力,能把文字的語言轉化為圖形語言;第三,要求考生有較好的空間想象能力,能根據三視圖想象出該幾何體;第四,要求考生有較強的邏輯推理能力,能根據不等式的性質對基本不等式進行變形和轉化;第五,要求考生有一定的計算能力,能抓住圖形中的數量關系并進行運算.借助長方體這一載體后,找投影、勾股定理、均值不等式等相關知識點自然就串聯了起來,陌生的問題化歸為熟悉的問題.

在三視圖的教學中,建議深入挖掘正方體,在正方體中設計出探究活動,有效培養學生的空間想象能力.在教學中可設計如下兩個探究活動：

探究活動1由正方體ABCD-A1B1C1D1(圖5)可截得如圖6至圖10的幾何體,分別畫出這些幾何體的三視圖.

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

設計意圖由正方體出發截得的幾何體,學生畫出其三視圖較為容易,通過幾何體的變化,一方面讓學生養成依托正方體畫三視圖的習慣,另一方面可以讓學生突破三視圖的認識封閉,體會幾何體和三視圖之間的充要性.

學生作答圖6的三視圖為：

圖11

圖7的三視圖與圖6的三視圖一致;

圖8的三視圖為：

圖12

圖9的三視圖為：

圖10的三視圖與圖9的三視圖一致.

由此還可以讓學生體會：不同的幾何體可以有相同的三視圖,即說明三視圖不能完全唯一表達一個幾何體.如下面這道高考題：

例3 (2010年福建卷,理12)若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積等于___.

圖14

分析給出的參考答案是顯然是將該幾何體視著底面邊長為2的正三角形,側棱長為1的直三棱柱進行求解.由此正視圖就一定能確定該幾何體是直三棱柱嗎?其實容易看出,題目給出的三棱柱可以說斜三棱柱(有無窮多個),其表面積并不是常數,當然體積是定值,所以題目可以修改為求三棱柱的體積.

由此可以讓學生進一步體會：一個幾何體的位置確定之后,它的三視圖是唯一的,但反過來,相同的三視圖可以對應不同的幾何體.稍有不慎,高考題都會犯錯誤,更需要我們有辯證的思考能力.

探究活動2 根據下列三視圖還原該幾何體.

設計意圖在歷年各省市的高考題中,不乏很多已知幾何體的三視圖求面積或體積的題目,下面的題目改編自模擬題或高考題,目的是讓學生進一步體會借助正方體解決三視圖問題.

圖15

圖16

圖17

圖18

學生作答依次還原幾何體為：

圖19

圖20

圖21

圖22

認識柱、錐、臺及其簡單組合體的結構特征,能根據三視圖識別和設計制作幾何模型,這是《課程標準》要求考生具備的技能.三視圖是立體幾何中一個重要的概念,也是歷年高考中的常考題,建議從對空間幾何體的整體觀察入手,認識整體圖形,再以長方體為載體,培養識圖、畫圖和想圖能力.而長方體的面剛好可以起到投影面的作用,較好的幫助學生無圖想圖,有效的降低空間想象能力要求.而且我們通過將三視圖具有的特征和原幾何模型對照研究,將長方體中的三棱錐模型化,以及通過對不同類型三視圖的分類處理,會有效地提高學生分析問題、解決問題的能力,更加有效的培養學生的邏輯推理能力.

[1]數學課程標準研制組.普通高中數學課程(實驗)解讀[M].南京：江蘇教育出版社,2004.

[2]楊林軍.宏觀 本質 思維[J].數學通報,2015,54(12).