一道模擬試題的解法分析及推廣應用

廣州市花都區新華中學(510800) 李桃

一道模擬試題的解法分析及推廣應用

廣州市花都區新華中學(510800) 李桃

題目1 (2017屆高三廣州模擬考試16題)已知銳角△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=1,2cosC+c=2b,則△ABC的周長的取值范圍是____.

答案：

該題作為這份試卷的客觀題壓軸題,正答率極低.翻查一些優生的答卷,(2,3]是較常見的答案.同時,筆者發現該題改編于瓊海市2013屆高考模擬試題16題：

題目2 已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=1,2cosC+c=2b,則△ABC的周長的取值范圍是____.答案：(2,3]

一、錯解分析

解法1 角化邊,基本不等式求最值

根據三角形兩邊之和大于第三邊可得b+c＞a=1,則周長a+b+c＞2.利用余弦定理,將2cosC+c=2b化簡,可得b2+c2-bc=1,即(b+c)2-3bc=1.由于解得b+c≤2(當b=c時取等號),則周長a+b+c≤3,故周長的取值范圍為(2,3].

錯因分析銳角三角形限制邊b,c有其最小值,所以周長最小值不可能為2.

解法2 邊化角,函數的思想求值域

錯因分析角B的范圍界定錯誤,導致周長的范圍擴大.因為角A=60°及△ABC是銳角三角形,則所以因此周長的取值范圍為

二、優法展示

分析△ABC的內角A的度數及對邊是固定不變的,但是點A的位置卻是變化的,這個特征在圓中可以實現.同弧(同弦同一側)所對的圓周角相等.

對于題2,如圖1所示,其中點P是優弧BC的中點,點A在優弧BC上運動時,角的度數始終是不變的,滿足題目要求.當點A從無限接近點C的位置開始逆時針方向運動時,△ABC的周長從2(但不等于2)開始增加,當點A運動到點P時,△ABC為等腰三角形(b=c),周長達到最大值3,點A繼續從點P運動到點B時,“反向”重復剛才的變化過程,因此△ABC的周長的取值范圍是(2,3].

圖1

對于題1,如圖2,其中∠A1CB=∠A2BC=90°,點P是優弧BC的中點.那么點A在弧A1A2上運動時(不包含A1,A2),滿足題目△ABC是銳角三角形的要求.當點A在A1或A2時,周長是最小值同樣是當點A運動到點P時,周長達到最大值3,因此銳角△ABC周長的取值范圍為

圖2

點評圖形揭示很直觀,解題也很簡便.華羅庚先生有言“形缺數時難入微”.畢竟,圖形有時也會欺騙我們的眼睛,“以理服人”是數學的精髓.筆者做出以下的論證：

綜上所述,我們可以確定,題1、題2的直觀分析都是正確的.

三、應用

題目3 (2014年全國1卷理16)已知a,b,c分別為△ABC的三個內角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為____.

解析由a=2且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,即

題目3變式在銳角△ABC中,A=60°,BC=2,則△ABC面積的取值范圍為____.

點評解法一運算量很大,解法二直觀簡便.

四、小結

在“△ABC的角A及其對邊a確定”這一問題情境下,我們可以用函數y=f(B)分別表示b+c,b-c,bc,b2+c2.用三角函數的知識可以論證,函數y=f(B)在B∈都是嚴格單調的.具體的結論,借助圓的直觀分析,就能一目了然.

綜上所述,在客觀題中遇到以上4類問題,教師可以指導學生放心地借助圓來直觀分析.尤其是當三角形的形狀有限制時,借助圓來直觀分析更是事半功倍.