高考題引發的對函數f(x)=sin(ωx+φ)性質思考

廣東省佛山市實驗中學(528061) 謝偉帆

高考題引發的對函數f(x)=sin(ωx+φ)性質思考

廣東省佛山市實驗中學(528061) 謝偉帆

A.11B.9C.7D.5

這道題目作為選擇題最后一題,綜合考察了f(x)= sin(ωx+φ)的零點、對稱軸及單調性.

做到這里,遇到了問題：對于每一個ω,都有滿足題設條件對應的φ嗎?如果有,該如何確定φ的值,兩個值都能取,還是只能取其中一個?觀察③④式發現,只要ω能寫成③的形式,就存在對應的k1,k2,通過④式的計算可得出對應的φ,因此φ必存在(此時φ不一定滿足接下來可以利用正弦函數T=2π找出φ的等價值,事實上,φ值只能等價于二者之一(后文會解釋).

簡單來分析,當ω＞0(ω/=1)時,要使f(x)= sin(x+φ)的所有零點也是f(x)=sin(ωx+φ)的零點,后者的周期必須比前者周期短,易知ω＞1,那么ω會是整數嗎?筆者先考慮φ=0,得到定理一.

定理一f(x)=sinx零點為f(x)=sin(ωx)零點的充要條件是ω為整數.

證明充分性f(x)=sinx的所有零點為x=kπ(?k∈Z),則ωx=ωkπ=k1π(k1∈Z),sin(k1π)=0,得證.

必要性 反證法,假設ω不為整數,f(x)=sinx的零點為x=kπ(?k∈Z),取k=1,x=π,則ωx=ωπ不是π的整數倍,因此sin(ωx)/=0,與f(x)=sinx的零點為f(x)=sin(ωx)的零點矛盾.

根據定理一的提示,考慮φ/=0的情況,得到定理二.

定理二f(x)=sin(x+φ)零點為f(x)=sin(ωx+φ)零點的充要條件是(ω∈Z,m∈Z,n∈Z).

證明充分性f(x)=sin(x+φ)的所有零點為x=-φ+k1π(?k1∈Z),則

必要性f(x)=sin(x+φ)的所有零點為x=-φ+k1π(?k1∈Z),因為f(x)=sin(x+φ)的零點為f(x)=sin(ωx+φ)的零點,所以不恒等于0,與f(x)=sin(x+φ)零點為f(x)=sin(ωx+φ)零點矛盾.

這樣就解決了開始的問題,找到了使得f(x)= sin(x+φ)的所有零點也是f(x)=sin(ωx+φ)的零點的充要條件.那對稱軸有沒有類似的結論呢?經過筆者的思考,得到定理三.

那么使得f(x)=sin(x+φ)的所有零點是f(x)= sin(ωx+φ)的對稱軸的充要條件以及f(x)=sin(x+φ)的所有對稱軸是f(x)=sin(ωx+φ)的零點的充要條件分別又是什么呢?由于證明過程和定理二、三類似,下面的證明過程不再贅述.

定理四f(x)=sin(x+φ)零點為f(x)=sin(ωx+φ)對稱軸的充要條件是(ω∈Z,m∈Z,n∈Z).

證明略.

通過研究函數f(x)=sin(ωx+φ)的性質,問題得到解決,但是過程繁雜,那有沒有更簡單的方法找出φ的取值呢?經過思考,發現中k2-k1與k1+k2的取值是有關聯的,由數論的知識得

(1)若k2-k1是奇數,則k2,k1為一奇一偶,所以k1+k2必為奇數,這樣也能解釋φ值只能等于-二者之一,此時取

(2)若k2-k1是偶數,則k2,k1同為奇數,或者同為偶數,所以k1+k2必為偶數,此時取

A選項ω=11=1+2×5,k2-k1=5,對應同理可知C選項B、D選項對應這樣能更快捷地找出φ的值.