初探三種垂直關系相互轉化的基本活動經驗

湖北省遠安縣第一高級中學(444200) 王康垣 王艷

初探三種垂直關系相互轉化的基本活動經驗

湖北省遠安縣第一高級中學(444200) 王康垣 王艷

1.問題提出在研究空間垂直關系問題中獲得的以線面垂直為樞紐的三種垂直關系相互轉化的經驗.

2.內容界定

空間中的垂直關系是立體幾何中重要的位置關系之一,線線垂直或面面垂直都可轉化為線面垂直來解決.其關系為：線線垂直?線面垂直?面面垂直.這三者之間的關系非常密切,可以互相轉化,從前面推出后面是判定定理,而從后面推出前面是性質定理,而線面垂直在三者中充當著承上啟下的作用.

3.理由說明

圖1

題目1(2008年高考文科湖北卷18題)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥側面A1ABB1

(I)求證：AB⊥BC

(II)略.

圖2

解析如右圖,過點A在平面A1ABB1內作AD⊥A1B于D,則由平面A1BC⊥側面A1ABB1,且平面A1BC∩側面A1ABB1=A1B,得AD⊥平面A1BC.又BC?平面A1BC,所以AD⊥BC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,則AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.又AA1∩AD=A,從而BC⊥側面A1ABB1,又AB?側面A1ABB1,故AB⊥BC.

圖3

評析此題需由已知的面面垂直證得線線垂直,中間必須要經過線面垂直這一環節,所以解析中的“作AD⊥A1B,得到AD⊥平面A1BC”就成了必經之路.

(2)重要性三種垂直之間的轉換充分體現了這樣一個動態的過程,我們在“轉”的過程中需要不斷明確轉化的歸屬、去向、目標、目的地,從而以線面垂直為樞紐,實現三種垂直關系的不斷轉化.

題目2 (人教版必修2第二章2.3.1練習1)在三棱錐V-ABC中,V A=V C,AB=BC,求證：V B⊥AC.

解析如圖,取AC的中點為M,連結V M、BM.由V A=V C,AC的中點為M,故V M⊥AC.同理,BM⊥AC.又V M∩BM=M,所以AC⊥面V BM,又V B?面V BM,所以V B⊥AC.

2005年，紐約南區的聯邦檢察長發出傳票，指稱美國國會多數黨領袖比爾·傅利斯特 (Bill Frist)因涉嫌股票內線交易而遭調查。傅利斯特出身心臟外科醫生，潔身自好，在朝野上下一度口碑甚佳，從政后也面臨著如何出污泥而不染的考驗。盡管長達18個月的外查內調后來無疾而終，這一事件對國會參、眾兩院的議員們都是一記不容忽視的警鐘。

圖4

點評(1)證明線線垂直往往化為線面垂直來解決,也即首先驗證直線垂直于平面,從而得到這條直線垂直于這個平面內的所有直線.這是證明線線垂直的一條有效途徑.(2)本題的轉化過程：線線垂直→線面垂直→線線垂直.

題目3(人教版必修2第二章2.3.2例3)如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任意一點,求證：平面PAC⊥平面PBC.

圖5

解析由PA垂直于⊙O所在的平面,BC?面⊙O,所以PA⊥BC,又在⊙O中AB是⊙O的直徑,所以AC⊥BC,而PA∩AC=A,所以BC⊥面PAC,又因為BC?面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.

評析由線線垂直?線面垂直?面面垂直可知,要證面面垂直需要從線面垂直入手要加以解決,即通過面面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的垂直,則這兩個平面互相垂直.而要得到線面垂直,又須從最基本的線線垂直入手來得到.

題目4(2016全國卷I文科第18題)如圖,已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形,PA=6,頂點P在平面ABC內的正投影為點D,D在平面PAB內的正投影為點E,連接PE并延長交AB于點G.

圖6

(I)略;

(II)在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F(說明作法及理由).

分析探尋點E在平面PAC內的正投影F,即有EF⊥PAC.如何得到線面垂直?應該說有兩種途徑,一是由線線垂直得到線面垂直;二是由面面垂直得到線面垂直關系.由本題條件由面面垂直得到線面垂直是一種可行的思路,即尋找一個平面經過點E且與面PAC垂直,由已知條件易探尋出面PBA與面PAC垂直.當思考到這一點,我們要注意面面垂直向線面垂直轉化過程中的條件：找交線、作交線的垂線等.故通過作EF⊥PA即探尋出點F的位置.

解析在平面PAB內,過點E作PB的平行線交PA于點F,F即為E在平面PAC內的正投影.

理由如下：由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF//PB,所以EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,即點F為E在平面PAC內的正投影.

評析此問得分較低,主要原因是學生對該題設問方式的創新性(通過作圖)不適應導致.但究其根本原因,還是在關鍵時候對三種垂直的“轉換不靈”導致,此題只需抓住“PB⊥面PAC,通過平移(作平行線)的方式轉換到EF⊥面PAC”.

綜上所述,線面垂直“肩負著者上下起承轉換”的重任,是空間三種垂直關系的中樞,學生一旦形成“以線面垂直為中軸,尋找其它垂直”的經驗,就可在垂直關系的證明、空間距離、幾何體體積等問題上大展身手.