構(gòu)造輔助函數(shù)解題的常用方法

四川省成都市彭州中學(xué)(611930) 劉大華 黃秦安

構(gòu)造輔助函數(shù)解題的常用方法

四川省成都市彭州中學(xué)(611930) 劉大華 黃秦安

數(shù)學(xué)教育大師波利亞說過：“人的高明之處在于當(dāng)他碰到一個不能直接克服的障礙時,他就會繞過去,當(dāng)原來的問題看起來似乎不好解時,就想出一個合適的輔助問題.”構(gòu)造函數(shù)就是有力的解題輔助工具,它可以優(yōu)美的解決很多難度較大的數(shù)學(xué)問題.然而眾所周知,運用輔助函數(shù)法解題的核心是如何構(gòu)造輔助函數(shù),本文立足于此,并結(jié)合筆者多年的解題實踐,談?wù)勅绾螛?gòu)造輔助函數(shù),供參考.

1.特征分析構(gòu)造

觀察是認識事物與解決問題的基石,在觀察過程中通過對問題進行特征分析、思考加工,可以構(gòu)造輔助函數(shù)解決表面特征稍明顯的數(shù)學(xué)問題.

構(gòu)造思路通過觀察、分析不等式的特征,不難發(fā)現(xiàn)不等式左邊的三個無理式結(jié)構(gòu)一樣,于是多元歸一,即可構(gòu)造輔助函數(shù)

故原不等式得證.

點評例1由《數(shù)學(xué)通報》2045號問題改編而得,上述通過特征分析構(gòu)造輔助函數(shù)的證法精彩巧妙,然而值得一提的是猜想也可由“切線法”實施證明.

2.和差構(gòu)造

和差法常用于比較大小、構(gòu)造對偶式等,其實也可用來構(gòu)造輔助函數(shù),如下2016年全國3卷文科壓軸題的壓軸問就是一個很典型的例子.

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)證明：x∈(1,+∞)時,

(3)設(shè)c＞1,證明：當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x＞cx.

構(gòu)造思路要證不等式“1+(c-1)x＞cx”,通過作差,即可構(gòu)造輔助函數(shù)“g(x)=cx-(c-1)x-1”.

解(1)、(2)略.

(3)構(gòu)造函數(shù)g(x)=cx-(c-1)x-1,x∈[0,1],要證原不等式,即證g(x)＜0.對g(x)求導(dǎo)得

由題c＞1,即lnc＞0,再根據(jù)第(2)問知所以g′(0)＜0且g′(1)＞0,結(jié)合g′(x)是單調(diào)遞增函數(shù)和零點定理可知g′(x)在區(qū)間(0,1)上有唯一零點,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上先單調(diào)遞減,再單調(diào)遞增,又g(0)=g(1)=0,從而在區(qū)間(0,1)內(nèi)g(x)＜0,故原不等式得證.

點評和差構(gòu)造輔助函數(shù)的方法在每年高考壓軸題中運用廣泛,如2016年四川理科壓軸題、2013年遼寧理科壓軸題等.

3.積商構(gòu)造

作積商常用于冪的大小比較、分式的消元等,其實也可用來構(gòu)造輔助函數(shù)解決有關(guān)累積形式的數(shù)學(xué)難題.

例3 若n∈N?,則有不等式：

即不等式左邊得證.

綜上所述,原不等式得證.

點評例3是數(shù)學(xué)通報2146號征解題,上述證明由積商構(gòu)造出輔助函數(shù)之后,其單調(diào)性的探究又是一個難點,此處由于輔助函數(shù)“f(x)”與“g(x)”為累積形式,故采用作商探討單調(diào)性較為適用,上述證明也比命題者給出的證明過程簡潔.

4.局部構(gòu)造

若問題中要探討部分的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,使得正面解決很困難,這時我們可以考慮將復(fù)雜的整體看成幾個部分,實施局部構(gòu)造輔助函數(shù),從局部突破,從而達到解決問題的目的.

例4 (1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)x＞0時,(x-2)ex+x+2＞0;

即h(0)=a-1＜0,h(2)=a≥0,由零點定理及第(1)問結(jié)論知h(x)在(0,2]上有唯一零點x=m.所以函數(shù)g(x)在(0,m)上單調(diào)遞減,在(m,+∞)上單調(diào)遞增,于是x=m為函數(shù)g(x)的極小值點,也為最小值點,即當(dāng)a∈[0,1)時,函數(shù)g(x)有最小值g(m).由于即所以當(dāng)a∈[0,1)時,有m∈(0,2],于是函數(shù)g(x)的最小值

點評此例是2016全國2卷理科壓軸題,g(x)的導(dǎo)函數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,于是我們從局部實施突破,構(gòu)造輔助函數(shù).這種構(gòu)造方式也很常見,如2016年江蘇卷19題,2013年陜西卷理科壓軸題等.

5.變參分離

若條件中含有參數(shù),要探究參數(shù)的取值范圍,此時可以考慮將參數(shù)與其他元分離,然后構(gòu)造輔助函數(shù)求解參數(shù)的范圍.

例5 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;

(2)略.

點評此題是2016年全國1卷理科壓軸題,將主元與參數(shù)變參分離后構(gòu)造關(guān)于的輔助函數(shù),在對輔助函數(shù)求導(dǎo)探究單調(diào)性,參數(shù)的范圍便自然得到.

6.對稱構(gòu)造

對稱是最能給人以美感的一種形式,發(fā)現(xiàn)對稱性,利用對稱思想去有意識的分析問題、發(fā)現(xiàn)優(yōu)美解是解決很多有趣數(shù)學(xué)題的有效思維方式.

例6 已知且 (3tanα+cotβ)3+tan3α+4tanα+cotβ= 0,證明：4tanα+cotβ=0.

構(gòu)造思路將題目中的等式通過代數(shù)變形調(diào)整為(3tanα+cotβ)3+(3tanα+cotβ)=-(tan3α+tanα),再運用對稱思想將“3tanα+cotβ”視為整體,構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=x3+x.

解引入輔助函數(shù)f(x)=x3+x,原條件轉(zhuǎn)為f(3tanα+cotβ)=-f(tanα).因為f(-x)=(-x)3+ (-x)=-(x3+x)=-f(x),f′(x)=3x2+1＞0,則f(x)既是奇函數(shù)又是單調(diào)遞增函數(shù),所以f(3tanα+cotβ)=-f(tanα),即3tanα+cotβ=-tanα,故4tanα+cotβ=0.

點評此例條件給出的等式結(jié)構(gòu)相對混亂,通過代數(shù)變形調(diào)整簡明后,再運用對稱思維構(gòu)造輔助函數(shù).

7.換元構(gòu)造

換元思想是最基本的數(shù)學(xué)思想之一,它可以將問題化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉.換元思想也是一種常用的構(gòu)造輔助函數(shù)方法.

例7 已知

(1)求y的最小值;

(2)求取得最小值時的θ.

構(gòu)造思路考慮到題目中同時存在sinθ+cosθ和sinθcosθ,所以運用換元思想,令則

點評此例曾被改編為2002年同濟大學(xué)自招試題,換元的目的是便于構(gòu)造輔助函數(shù)求其最值,但換元后要注意新元的取值范圍,以免范圍的擴大或縮小.

8.聯(lián)系函數(shù)模型構(gòu)造

在中學(xué)階段已接觸到的函數(shù)模型有：一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、三角函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)函數(shù)模型等,若問題中滲透著某些函數(shù)模型,應(yīng)優(yōu)先利用這個函數(shù)模型,構(gòu)造輔助函數(shù),使問題得到轉(zhuǎn)化與解決.

例8 解方程：

構(gòu)造思路通過仔細審題,可以發(fā)現(xiàn)是兩個類似的指數(shù)函數(shù)模型,由于底數(shù)都大于1,所以構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=ax(a＞1).

解引入輔助函數(shù)f(x)=ax(a＞1),由于f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)且所以

點評上述解答構(gòu)造指數(shù)型輔助函數(shù)后,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解難度較大的無理方程,實屬巧妙,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇異美.

9.主元構(gòu)造

在解決多元數(shù)學(xué)問題時,為了化解多元的干擾,往往可以采用主元思想,視某一利于問題解決的元為主元,從而構(gòu)造輔助函數(shù).

例9 設(shè)0＜x＜1,0＜y＜1,0＜z＜1,證明：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1.

證法1以x為主元,將要證不等式整理為

引入輔助函數(shù)

因為0＜y＜1,0＜z＜1,所以

由于f(x)的函數(shù)圖像是直線,所以0＜x＜1時,f(x)＞0恒成立.故x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1得證.

點評這是一道很經(jīng)典的俄羅斯數(shù)學(xué)競賽試題,不等式涉及三個元,但我們僅僅只選用其中一個元為主元構(gòu)造輔助函數(shù),使得問題得以漂亮的解答,當(dāng)然這道競賽題還有其他優(yōu)美的解法,若有興趣請查閱文[1].

10.多次構(gòu)造

當(dāng)問題的條件或結(jié)論沒有任何特征可循,通過代數(shù)變形后仍難以下手時,可以考慮分別構(gòu)造兩個或兩個以上的輔助函數(shù).

例10 設(shè)x,y,z是正實數(shù),且xyz=1,證明：

證明要證原不等式,即證

由于u3+v3+w3≥3uvw恒成立,所以,只需證明

引入輔助函數(shù)

不妨設(shè)x≥y≥z,則

由xyz=1得x≥1,z≤1,所以

所以

故原不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時“=”成立.

點評例10曾被作為第39屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)選題,兩次構(gòu)造輔助函數(shù)后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和放縮技能得以證明,有一定的難度.

構(gòu)造輔助函數(shù)在解決難度較大的問題時屢見不鮮,但學(xué)生對這一方法的掌握程度很不容樂觀,究其原因主要是我們在日常的解題教學(xué)沒有充分的向?qū)W生揭示輔助函數(shù)的構(gòu)造思路歷程,這使得輔助函數(shù)的產(chǎn)生就像“帽子里鉆出一只兔子”一樣,讓人難以捉摸和理解.所以在日常的解題教學(xué)中,我們一定要重視展示典型問題的解決思路和方法,因為羅增儒教授在其著作[3]中也再三強調(diào)：“分析典型例題的解題過程,揭示解決方法是學(xué)會解題的有效途徑.”

[1]劉再平.一道經(jīng)典全俄奧林匹克問題的證法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2015(5)：47-48.

[2]劉再平.例析輔助函數(shù)法的模式與解題運用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2013(11)：36-38.

[3]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論(第二版)[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社,2008.9.